极客教程辛矩阵
在数学中，辛矩阵是指一个2n\times 2n的矩阵M（通常布于实数或复数域上），使之满足 M^{T}\Omega M=\Omega。 其中M^{T}表M的转置矩阵，而\Omega 是一个固定的可逆斜对称矩阵；这类矩阵在适当的变化后皆能表为...
线性代数
线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是矩阵，向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组
埃尔米特矩阵
埃尔米特矩阵（英语：Hermitian matrix，又译作厄米特矩阵，厄米矩阵），也称自伴随矩阵，是共轭对称的方阵。埃尔米特矩阵中每一个第i行第j列的元素都与第j行第i列的元素的复共轭。 对于 A={a_{{i,j}}}...
矩阵乘法
矩阵乘法（英语：matrix multiplication）是一种根据两个矩阵得到第三个矩阵的二元运算，第三个矩阵即前两者的乘积，称为矩阵积（英语：matrix product）。设A是{\displaystyle n\times m}的矩...
向量叉积
在数学和向量代数领域，向量叉积（英语：Cross product）又称向量积（英语：Vector product），是对三维空间中的两个向量的二元运算，使用符号\times。与点积不同，它的运算结果是向量。对于线性无关的两个向量 \math...
伴随矩阵
在线性代数中，一个方形矩阵的伴随矩阵是一个类似于逆矩阵的概念。如果矩阵可逆，那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数。然而，伴随矩阵对不可逆的矩阵也有定义，并且不需要用到除法。 伴随矩阵的定义 设R是一个交换环，A是一个以R中元素为系数...
矩阵的特征值和特征向量
假设我们想要计算给定矩阵的特征值和特征向量。若矩阵很小，我们可以用特征多项式进行符号演算。但是，对于大型矩阵这通常是不可行的，在那种情况我们必须采用数值方法。 计算矩阵的特征值和特征向量 形式计算 描述正方形矩阵的特征值的重要工具是特征多项...
正交矩阵
在矩阵论中，正交矩阵（orthogonal matrix）是一个方块矩阵Q，其元素为实数，而且行向量与列向量皆为正交的单位向量，使得该矩阵的转置矩阵为其逆矩阵： Q^{T}=Q^{-1}\Leftrightarrow Q^{T}Q=QQ^{...
单位矩阵
在线性代数中，n阶单位矩阵，是一个n\times n的方形矩阵，其主对角线元素为1，其余元素为0。单位矩阵以I_n表示；如果阶数可忽略，或可由前后文确定的话，也可简记为I（或者E）。 I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{...
三角矩阵
在线性代数中，三角矩阵是方形矩阵的一种，因其非零系数的排列呈三角形状而得名。三角矩阵分上三角矩阵和下三角矩阵两种。上三角矩阵的对角线左下方的系数全部为零，下三角矩阵的对角线右上方的系数全部为零。 三角矩阵可以看做是一般方阵的一种简化情形。比...
转置矩阵
在线性代数中，矩阵A的转置是另一个矩阵A^T（也写做A^{tr}, 或A′）由下列等价动作建立： 把A的横行写为A^T的纵列 把A的纵列写为A^T的横行 形式上说，m × n矩阵A的转置是n × m矩阵 A_{ij}^{\mathrm {T...
对称矩阵
在线性代数中，对称矩阵（英语：symmetric matrix）是一个方形矩阵，其转置矩阵和自身相等。 A = A^{\textrm{T}} , 对称矩阵中的右上至左下方向元素以主对角线（左上至右下）为轴进行对称。若将其写作A = (a_{...
反对称矩阵
在线性代数中，反对称矩阵（或称斜对称矩阵）是一个方形矩阵，其转置矩阵和自身的加法逆元相等。其满足： A^T = − A 或写作A = (a_{ij})，各元素的关系为： a_{ij} = -a_{ji} 例如，下例为一个反对称矩阵： \be...
初等矩阵
线性代数中，初等矩阵（又称为基本矩阵）是一个与单位矩阵只有微小区别的矩阵。具体来说，一个n阶单位矩阵E经过一次初等行变换或一次初等列变换所得矩阵称为n阶初等矩阵. 初等矩阵的操作 初等矩阵分为3种类型，分别对应着3种不同的行/列变换。 两行...
矩阵的逆
矩阵的逆是什么 逆矩阵（inverse matrix），又称反矩阵。在线性代数中，给定一个n 阶方阵\mathbf{A}，若存在一n 阶方阵\mathbf {B} ，使得\mathbf{AB}=\mathbf{BA}=\mathbf{I}_...
方块矩阵
方块矩阵，也称方阵、方矩阵或正方矩阵，是行数及列数皆相同的矩阵。由n \times n矩阵组成的集合，连同矩阵加法和矩阵乘法，构成环。除了n=1，此环并不是交换环。 M(n, R)，即实方块矩阵环，是个实有单位的结合代数。M(n, C)，即...
正定矩阵
在线性代数里，正定矩阵是埃尔米特矩阵的一种，有时会简称为正定阵。在线性代数中，正定矩阵的性质类似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式（复域中则对应埃尔米特正定双线性形式）。 正定矩阵的定义 一个n×n的实对称矩阵M...
对角矩阵
对角矩阵（英语：diagonal matrix）是一个主对角线之外的元素皆为0的矩阵。对角线上的元素可以为0或其他值。因此n行n列的矩阵\mathbf {D} = (di,j)若符合以下的性质： { d_{i,j}=0 ,{ if i\ne...
行列式展开和行列式计算
行列式展开和行列式计算，就是把较高阶的行列式转化为较低阶行列式,从而得到计算行列式的另一种基本方法——降阶法。 行列式的展开 余因式 又称“余子式”、“余因子”。 对一个n阶的行列式$$M$$，去掉$$M$$的第 $$i$$行第$$j$$列...
矩阵的秩
矩阵的秩，在线性代数中，一个矩阵 A 的列秩是A 的线性无关的纵列的极大数目。类似地，行秩是A 的线性无关的横行的极大数目。矩阵的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵 A 的秩。通常表示为 {\displaystyle \mat...
奇异值分解
奇异值分解（singular value decomposition）是线性代数中一种重要的矩阵分解，在信号处理、统计学等领域有重要应用。奇异值分解在某些方面与对称矩阵或厄米矩阵基于特征向量的对角化类似。然而这两种矩阵分解尽管有其相关性，但...
向量的性质和特殊向量
特殊向量 特殊向量类似于数字中的1（单位元）、相反数（加法逆元）、0（加法单位元），向量中有单位向量（单位元）、反向量（加法逆元）、零向量（加法单位元）、等概念量。此外，还有方向向量、相等向量等概念。 单位向量 对于任意向量\vec{a}，...
向量运算
向量的大小是相对的，在有需要时，会规定单位向量，以其长度作为1。每个方向上都有一个单位向量。 向量之间可以如数字一样进行运算。本文介绍向量基本运算公式，常见的向量运算有：加法、减法、数与向量之间的乘法（数量积）以及向量与向量之间的乘法（向量...
相似矩阵
线性代数中，相似矩阵是指存在相似关系的矩阵。相似关系是两个矩阵之间的一种等价关系。两个n×n矩阵A与B为相似矩阵当且仅当存在一个n×n的可逆矩阵P，使得： P^{{-1}}AP=B P被称为矩阵A与B之间的相似变换矩阵。 相似矩阵保留了矩阵...
行列式简介及性质
行列式（Determinant）是数学中的一个函数，将一个n\times n的矩阵A映射到一个标量，记作\det(A)或|A|。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在n维欧几里得空间中，行列式描述的是一...
导数
导数（Derivative），也叫导函数值。又名微商，是微积分中的重要基础概念。当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作...
可对角化矩阵
可对角化矩阵-是线性代数和矩阵论中重要的一类矩阵。如果一个方块矩阵 A 相似于对角矩阵，也就是说，如果存在一个可逆矩阵 P 使得 P^{−1}AP 是对角矩阵，则它就被称为可对角化的。如果 V 是有限维度的向量空间，则线性映射 T : V ...
线性无关
在线性代数里，向量空间的一组元素中，若没有向量可用有限个其他向量的线性组合所表示，则称为线性无关或线性独立（linearly independent），反之称为线性相关（linearly dependent）。例如在三维欧几里得空间R^3的...
特征分解
[线性代数](https://geek-docs.com/linear-algebra/linearalgebra-tutorials/linear-algebra-intro.html “线性代数”)中，特征分...
向量空间
向量空间是现代数学中的一个基本概念。是线性代数研究的基本对象。 向量空间的一个直观模型是向量几何，几何上的向量及相关的运算即向量加法，标量乘法，以及对运算的一些限制如封闭性，结合律，已大致地描述了“向量空间”这个数学概念的直观形象。 在现代...
线性子空间
线性子空间（或向量子空间）在线性代数和相关的数学领域中是重要的。在没有混淆于其他子空间的时候通常简称为“子空间”。 什么是线性子空间 在 线性代数和其他数学相关领域， 一个线性子空间 (或 向量子空间) U是给定域{\mathfrak {R...