导数|极客教程

导数（Derivative），也叫导函数值。又名微商，是微积分中的重要基础概念。当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f’（x0）或df（x0）/dx。

导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。

不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。

对于可导的函数f(x)，x↦f'(x)也是一个函数，称作f(x)的导函数（简称导数）。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。反之，已知导函数也可以倒过来求原来的函数，即不定积分。微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的。求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。

导数和微分的概念

$f'({{x}{0}})=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }},\frac{f({{x}{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})}{\Delta x}$ （1）

或者：

$f'({{x}{0}})=\underset{x\to {{x}{0}}}{\mathop{\lim }},\frac{f(x)-f({{x}{0}})}{x-{{x}{0}}}$ （2）

左右导数导数的几何意义和物理意义

函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的左、右导数分别定义为：

左导数： ${{{f}’}{-}}({{x}{0}})=\underset{\Delta x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }},\frac{f({{x}{0}}+\Delta x)-f({{x}{0}})}{\Delta x}=\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }},\frac{f(x)-f({{x}{0}})}{x-{{x}{0}}},(x={{x}_{0}}+\Delta x)$

右导数： ${{{f}’}{+}}({{x}{0}})=\underset{\Delta x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }},\frac{f({{x}{0}}+\Delta x)-f({{x}{0}})}{\Delta x}=\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }},\frac{f(x)-f({{x}{0}})}{x-{{x}{0}}}$

函数的可导性与连续性之间的关系

Th1: 函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可微 $\Leftrightarrow f(x)$ 在 $x_0$ 处可导

Th2: 若函数在点 $x_0$ 处可导，则 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续，反之则不成立。即函数连续不一定可导。

Th3: ${f}'({{x}{0}})$ 存在 $\Leftrightarrow {{{f}’}{-}}({{x}{0}})={{{f}’}{+}}({{x}_{0}})$

平面曲线的切线和法线

切线方程 : $y-{{y}{0}}=f'({{x}{0}})(x-{{x}{0}})$ 法线方程： $y-{{y}{0}}=-\frac{1}{f'({{x}{0}})}(x-{{x}{0}}),f'({{x}_{0}})\ne 0$

四则运算法则

设函数 $u=u(x)，v=v(x)$ ]在点 $x$ 可导,则
(1) $(u\pm v{)}’={u}’\pm {v}’$ $d(u\pm v)=du\pm dv$

(2) $(uv{)}’=u{v}’+v{u}’$ $d(uv)=udv+vdu$

(3) $(\frac{u}{v}{)}’=\frac{v{u}’-u{v}’}{{{v}^{2}}}(v\ne 0)$ $d(\frac{u}{v})=\frac{vdu-udv}{{{v}^{2}}}$

基本导数与微分表

(1) $y=c$ （常数） ${y}’=0$ $dy=0$

(2) $y={{x}^{\alpha }}$ ( $\alpha $ 为实数) ${y}’=\alpha {{x}^{\alpha -1}}$ $dy=\alpha {{x}^{\alpha -1}}dx$

(3) $y={{a}^{x}}$ ${y}’={{a}^{x}}\ln a$ $dy={{a}^{x}}\ln adx$ 特例: $({{{e}}^{x}}{)}’={{{e}}^{x}}$ $d({{{e}}^{x}})={{{e}}^{x}}dx$

(4) $y={{\log }_{a}}x$ ${y}’=\frac{1}{x\ln a}$

$dy=\frac{1}{x\ln a}dx$ 特例: $y=\ln x$ $(\ln x{)}’=\frac{1}{x}$ $d(\ln x)=\frac{1}{x}dx$

(5) $y=\sin x$

${y}’=\cos x$ $d(\sin x)=\cos xdx$

(6) $y=\cos x$

${y}’=-\sin x$ $d(\cos x)=-\sin xdx$

(7) $y=\tan x$

${y}’=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}={{\sec }^{2}}x$ $d(\tan x)={{\sec }^{2}}xdx$

(8) $y=\cot x$ ${y}’=-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}=-{{\csc }^{2}}x$ $d(\cot x)=-{{\csc }^{2}}xdx$

(9) $y=\sec x$ ${y}’=\sec x\tan x$

$d(\sec x)=\sec x\tan xdx$

(10) $y=\csc x$ ${y}’=-\csc x\cot x$

$d(\csc x)=-\csc x\cot xdx$

(11) $y=\arcsin x$

${y}’=\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}$

$d(\arcsin x)=\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}dx$

(12) $y=\arccos x$

${y}’=-\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}$ $d(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}dx$

(13) $y=\arctan x$

${y}’=\frac{1}{1+{{x}^{2}}}$ $d(\arctan x)=\frac{1}{1+{{x}^{2}}}dx$

(14) $y=\operatorname{arc}\cot x$

${y}’=-\frac{1}{1+{{x}^{2}}}$

$d(\operatorname{arc}\cot x)=-\frac{1}{1+{{x}^{2}}}dx$

(15) $y=shx$

${y}’=chx$ $d(shx)=chxdx$

(16) $y=chx$

${y}’=shx$ $d(chx)=shxdx$

复合函数，反函数，隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法

(1) 反函数的运算法则: 设 $y=f(x)$ 在点 $x$ 的某邻域内单调连续，在点 $x$ 处可导且 ${f}'(x)\ne 0$ ，则其反函数在点 $x$ 所对应的 $y$ 处可导，并且有 $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}$

(2) 复合函数的运算法则:若 $\mu =\varphi (x)$ 在点 $x$ 可导,而 $y=f(\mu )$ 在对应点 $\mu$ ( $\mu =\varphi (x)$ )可导,则复合函数 $y=f(\varphi (x))$ 在点 $x$ 可导,且 ${y}’={f}'(\mu )\cdot {\varphi }'(x)$

(3) 隐函数导数 $\frac{dy}{dx}$ 的求法一般有三种方法：

方程两边对 $x$ 求导，要记住 $y$ 是 $x$ 的函数，则 $y$ 的函数是 $x$ 的复合函数.例如 $\frac{1}{y}$ ， ${{y}^{2}}$ ， $ln y$ ， ${{{e}}^{y}}$ 等均是 $x$ 的复合函数. 对 $x$ 求导应按复合函数连锁法则做.
公式法.由 $F(x,y)=0$ 知 $\frac{dy}{dx}=-\frac{{{{{F}’}}{x}}(x,y)}{{{{{F}’}}{y}}(x,y)}$ ,其中， ${{{F}’}{x}}(x,y)$ ， ${{{F}’}{y}}(x,y)$ 分别表示 $F(x,y)$ 对 $x$ 和 $y$ 的偏导数
利用微分形式不变性

常用高阶导数公式

（1） $({{a}^{x}}){{,}^{(n)}}={{a}^{x}}{{\ln }^{n}}a\quad (a>{0})\quad \quad ({{{e}}^{x}}){{,}^{(n)}}={e}{{,}^{x}}$

（2） $(\sin kx{)}{{,}^{(n)}}={{k}^{n}}\sin (kx+n\cdot \frac{\pi }{{2}})$

（3） $(\cos kx{)}{{,}^{(n)}}={{k}^{n}}\cos (kx+n\cdot \frac{\pi }{{2}})$

（4） $({{x}^{m}}){{,}^{(n)}}=m(m-1)\cdots (m-n+1){{x}^{m-n}}$

（5） $(\ln x){{,}^{(n)}}={{(-{1})}^{(n-{1})}}\frac{(n-{1})!}{{{x}^{n}}}$

（6）莱布尼兹公式：若 $u(x),,v(x)$ 均 $n$ 阶可导，则 ${{(uv)}^{(n)}}=\sum\limits_{i={0}}^{n}{c_{n}^{i}{{u}^{(i)}}{{v}^{(n-i)}}}$ ，其中 ${{u}^{({0})}}=u$ ， ${{v}^{({0})}}=v$

微分中值定理，泰勒公式

Th1:(费马定理)

若函数 $f(x)$ 满足条件： (1)函数 $f(x)$ 在 ${{x}{0}}$ 的某邻域内有定义，并且在此邻域内恒有 $f(x)\le f({{x}{0}})$ 或 $f(x)\ge f({{x}_{0}})$ ,

(2) $f(x)$ 在 ${{x}{0}}$ 处可导,则有 ${f}'({{x}{0}})=0$

Th2:(罗尔定理)

设函数 $f(x)$ 满足条件： (1)在闭区间 $[a,b]$ 上连续；

(2)在 $(a,b)$ 内可导；

(3) $f(a)=f(b)$ ；

则在 $(a,b)$ 内一存在个 $\xi$ ，使 ${f}'(\xi )=0$

Th3: (拉格朗日中值定理)

设函数 $f(x)$ 满足条件：
(1)在 $[a,b]$ 上连续；

(2)在 $(a,b)$ 内可导；

则在 $(a,b)$ 内一存在个 $\xi$ ，使 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}={f}'(\xi )$

Th4: (柯西中值定理)

设函数 $f(x)$ ， $g(x)$ 满足条件： (1) 在 $[a,b]$ 上连续；

(2) 在 $(a,b)$ 内可导且 ${f}'(x)$ ， ${g}'(x)$ 均存在，且 ${g}'(x)\ne 0$

则在 $(a,b)$ 内存在一个 $\xi$ ，使 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{{f}'(\xi )}{{g}'(\xi )}$

洛必达法则

法则Ⅰ ( $\frac{0}{0}$ 型) 设函数 $f\left( x \right),g\left( x \right)$ 满足条件： $\underset{x\to {{x}{0}}}{\mathop{\lim }},f\left( x \right)=0,\underset{x\to {{x}{0}}}{\mathop{\lim }},g\left( x \right)=0$ ;

$f\left( x \right),g\left( x \right)$ 在 ${{x}{0}}$ 的邻域内可导，(在 ${{x}{0}}$ 处可除外)且 ${g}’\left( x \right)\ne 0$ ;

$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }},\frac{{f}’\left( x \right)}{{g}’\left( x \right)}$ 存在(或 $\infty$ )。

存在一个 $X>0$ ,当 $\left| x \right|>X$ 时, $f\left( x \right),g\left( x \right)$ 可导,且 ${g}’\left( x \right)\ne 0$ ; $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }},\frac{{f}’\left( x \right)}{{g}’\left( x \right)}$ 存在(或 $\infty$ )。

则: $\underset{x\to {{x}{0}}}{\mathop{\lim }},\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\underset{x\to {{x}{0}}}{\mathop{\lim }},\frac{{f}’\left( x \right)}{{g}’\left( x \right)}$ 法则Ⅱ( $\frac{\infty }{\infty }$ 型) 设函数 $f\left( x \right),g\left( x \right)$ 满足条件： $\underset{x\to {{x}{0}}}{\mathop{\lim }},f\left( x \right)=\infty ,\underset{x\to {{x}{0}}}{\mathop{\lim }},g\left( x \right)=\infty$ ; $f\left( x \right),g\left( x \right)$ 在 ${{x}{0}}$ 的邻域内可导(在 ${{x}{0}}$ 处可除外)且 ${g}’\left( x \right)\ne 0$ ; $\underset{x\to {{x}{0}}}{\mathop{\lim }},\frac{{f}’\left( x \right)}{{g}’\left( x \right)}$ 存在(或 $\infty$ )。则 $\underset{x\to {{x}{0}}}{\mathop{\lim }},\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }},\frac{{f}’\left( x \right)}{{g}’\left( x \right)}.$ 同理法则 ${I{I}’}$ ( $\frac{\infty }{\infty }$ 型)仿法则 ${{I}’}$ 可写出。

泰勒公式

设函数 $f(x)$ 在点 ${{x}{0}}$ 处的某邻域内具有 $n+1$ 阶导数，则对该邻域内异于 ${{x}{0}}$ 的任意点 $x$ ，在 ${{x}{0}}$ 与 $x$ 之间至少存在一个 $\xi$ ，使得： $f(x)=f({{x}{0}})+{f}'({{x}{0}})(x-{{x}{0}})+\frac{1}{2!}{f}”({{x}{0}}){{(x-{{x}{0}})}^{2}}+\cdots$ $+\frac{{{f}^{(n)}}({{x}{0}})}{n!}{{(x-{{x}{0}})}^{n}}+{{R}{n}}(x)$ 其中 ${{R}{n}}(x)=\frac{{{f}^{(n+1)}}(\xi )}{(n+1)!}{{(x-{{x}{0}})}^{n+1}}$ 称为 $f(x)$ 在点 ${{x}{0}}$ 处的 $n$ 阶泰勒余项。

令 ${{x}{0}}=0$ ，则 $n$ 阶泰勒公式 $f(x)=f(0)+{f}'(0)x+\frac{1}{2!}{f}”(0){{x}^{2}}+\cdots +\frac{{{f}^{(n)}}(0)}{n!}{{x}^{n}}+{{R}{n}}(x)$ ……(1) 其中 ${{R}_{n}}(x)=\frac{{{f}^{(n+1)}}(\xi )}{(n+1)!}{{x}^{n+1}}$ ， $\xi$ 在0与 $x$ 之间.(1)式称为麦克劳林公式

常用五种函数在 ${{x}_{0}}=0$ 处的泰勒公式

(1) ${{{e}}^{x}}=1+x+\frac{1}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{1}{n!}{{x}^{n}}+\frac{{{x}^{n+1}}}{(n+1)!}{{e}^{\xi }}$

或 $=1+x+\frac{1}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{1}{n!}{{x}^{n}}+o({{x}^{n}})$

(2) $\sin x=x-\frac{1}{3!}{{x}^{3}}+\cdots +\frac{{{x}^{n}}}{n!}\sin \frac{n\pi }{2}+\frac{{{x}^{n+1}}}{(n+1)!}\sin (\xi +\frac{n+1}{2}\pi )$

或 $=x-\frac{1}{3!}{{x}^{3}}+\cdots +\frac{{{x}^{n}}}{n!}\sin \frac{n\pi }{2}+o({{x}^{n}})$

(3) $\cos x=1-\frac{1}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{{{x}^{n}}}{n!}\cos \frac{n\pi }{2}+\frac{{{x}^{n+1}}}{(n+1)!}\cos (\xi +\frac{n+1}{2}\pi )$

或 $=1-\frac{1}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{{{x}^{n}}}{n!}\cos \frac{n\pi }{2}+o({{x}^{n}})$

(4) $\ln (1+x)=x-\frac{1}{2}{{x}^{2}}+\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\cdots +{{(-1)}^{n-1}}\frac{{{x}^{n}}}{n}+\frac{{{(-1)}^{n}}{{x}^{n+1}}}{(n+1){{(1+\xi )}^{n+1}}}$

或 $=x-\frac{1}{2}{{x}^{2}}+\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\cdots +{{(-1)}^{n-1}}\frac{{{x}^{n}}}{n}+o({{x}^{n}})$

(5) ${{(1+x)}^{m}}=1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{n!}{{x}^{n}}$ $+\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{(n+1)!}{{x}^{n+1}}{{(1+\xi )}^{m-n-1}}$

或 ${{(1+x)}^{m}}=1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}{{x}^{2}}+\cdots$ $+\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{n!}{{x}^{n}}+o({{x}^{n}})$

函数单调性的判断

Th1: 设函数 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 区间内可导，如果对 $\forall x\in (a,b)$ ，都有 $f,'(x)>0$ （或 $f,'(x)<0$ ），则函数 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内是单调增加的（或单调减少）

Th2: （取极值的必要条件）设函数 $f(x)$ 在 ${{x}{0}}$ 处可导，且在 ${{x}{0}}$ 处取极值，则 $f,'({{x}_{0}})=0$ 。

Th3: （取极值的第一充分条件）设函数 $f(x)$ 在 ${{x}{0}}$ 的某一邻域内可微，且 $f,'({{x}{0}})=0$ （或 $f(x)$ 在 ${{x}{0}}$ 处连续，但 $f,'({{x}{0}})$ 不存在。）
(1)若当 $x$ 经过 ${{x}{0}}$ 时， $f,'(x)$ 由“+”变“-”，则 $f({{x}{0}})$ 为极大值；

(2)若当 $x$ 经过 ${{x}{0}}$ 时， $f,'(x)$ 由“-”变“+”，则 $f({{x}{0}})$ 为极小值；

(3)若 $f,'(x)$ 经过 $x={{x}{0}}$ 的两侧不变号，则 $f({{x}{0}})$ 不是极值。

Th4: (取极值的第二充分条件)设 $f(x)$ 在点 ${{x}{0}}$ 处有 $f”(x)\ne 0$ ，且 $f,'({{x}{0}})=0$ ，则当 $f’,'({{x}{0}})<0$ 时， $f({{x}{0}})$ 为极大值；当 $f’,'({{x}{0}})>0$ 时， $f({{x}{0}})$ 为极小值。注：如果 $f’,'({{x}_{0}})<0$ ，此方法失效。

渐近线的求法

(1)水平渐近线若 $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }},f(x)=b$ ，或 $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }},f(x)=b$ ，则

$y=b$ 称为函数 $y=f(x)$ 的水平渐近线。

(2)铅直渐近线若 $\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }},f(x)=\infty$ ，或 $\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }},f(x)=\infty$ ，则

$x={{x}_{0}}$ 称为 $y=f(x)$ 的铅直渐近线。

(3)斜渐近线若 $a=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }},\frac{f(x)}{x},\quad b=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }},[f(x)-ax]$ ，则 $y=ax+b$ 称为 $y=f(x)$ 的斜渐近线。