行列式简介及性质

行列式(Determinant)是数学中的一个函数,将一个n\times n的矩阵A映射到一个标量,记作\det(A)|A|。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说,在n维欧几里得空间中,行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论,还是在微积分学中(比如说换元积分法中),行列式作为基本的数学工具,都有着重要的应用。

行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期,关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始,行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后,行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现,行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用,出现线性自同态和向量组的行列式的定义。

行列式记法

矩阵A的行列式记作\det(A)。行列式经常使用竖直线记法(例如:克莱姆法则和子式)。例如,对于一个矩阵

A={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}
\det(A)也记作|A|,或以细长的垂直线取代矩阵的方括号,明确的写为:
|A|={\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}
当这个记法用于绝对值时,其作用对象为数,矩阵的绝对值是无定义的。矩阵范数通常以双垂直线来表示(如:||\cdot ||),且可以使用下标。故不会与二者造成混淆。

行列式定义

一个n阶方块矩阵{\displaystyle A}A的行列式可直观地定义如下:

\det(A)=\sum_{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod_{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}
其中,S_{n}是集合{1,2,…,n}上置换的全体,即集合{1,2,…,n}到自身上的一一映射(双射)的全体;

\sum_{\sigma \in S_{n}}表示对S_{n}全部元素的求和,即对于每个{\displaystyle \sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod_{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}在加法算式中出现一次;对每一个满足{\displaystyle 1\leq i,j\leq n}的数对{\displaystyle \left(i,j\right)}a_{{i,j}}是矩阵A的第i行第j列的元素。

{\displaystyle \operatorname {sgn}(\sigma )}表示置换{\displaystyle \sigma \in S_{n}}的符号差,具体地说,满足{\displaystyle 1\leq i\leq j\leq n}{\displaystyle \sigma (i)>\sigma (j)}的有序数对{\displaystyle \left(i,j\right)}称为\sigma 的一个逆序。

如果\sigma 的逆序共有偶数个,则{\displaystyle \operatorname {sgn} \sigma =1},如果共有奇数个,则{\displaystyle \operatorname {sgn} \sigma =-1}

举例来说,对于3元置换{\displaystyle \sigma =\left(2,3,1\right)}(即是说{\displaystyle \sigma (1)=2}{\displaystyle \sigma (2)=3}{\displaystyle \sigma (3)=1})而言,由于1在2后,1在3后,所以共有2个逆序(偶数个),因此{\displaystyle \operatorname {sgn}(\sigma )=1},从而3阶行列式中项a_{1,2}a_{2,3}a_{3,1}的符号是正的。但对于三元置换{\displaystyle \sigma =\left(3,2,1\right)}(即是说{\displaystyle \sigma (1)=3}{\displaystyle \sigma (2)=2}{\displaystyle \sigma (3)=1})而言,可以数出共有3个逆序(奇数个),因此{\displaystyle \operatorname {sgn} \sigma =-1},从而3阶行列式中项a_{1,3}a_{2,2}a_{3,1}的符号是负号。

注意到对于任意正整数nS_{n}共拥有n!个元素,因此上式中共有n!个求和项,即这是一个有限多次的求和。

对于简单的2阶和3阶的矩阵,行列式的表达式相对简单,而且恰好是每条主对角线(左上至右下)元素乘积之和减去每条副对角线(右上至左下)元素乘积之和(见图中红线和蓝线)。

2阶矩阵的行列式:{\begin{vmatrix} a_{1,1}&a_{1,2}\\ a_{2,1}&a_{2,2} \end{vmatrix}}= a_{1,1}a_{2,2}-a_{1,2}a_{2,1}

3阶矩阵的行列式:{\begin{vmatrix} a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\ a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\\ a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3} \end{vmatrix}}=a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3}+a_{1,2}a_{2,3}a_{3,1}+a_{1,3}a_{2,1}a_{3,2}-a_{1,3}a_{2,2}a_{3,1}-a_{1,1}a_{2,3}a_{3,2}-a_{1,2}a_{2,1}a_{3,3}

三阶矩阵的行列式为每条红线上的元素的乘积之和,减去蓝线上元素乘积之和。
但对于阶数{\displaystyle n\geq 4}的方阵
A,这样的主对角线和副对角线分别只有n条,由于A的主、副对角线总条数2n<n(n-1)<n!<=S_n的元素个数 因此,行列式的相加项中除了这样的对角线乘积之外,还有其他更多的项。例如4阶行列式中,项a_{1,2}a_{2,3}a_{3,1}a_{4,4}就不是任何对角线的元素乘积。不过,和2、3阶行列式情况相同的是,n阶行列式中的每一项仍然是从矩阵中选取n个元素相乘得到,且保证在每行和每列中都恰好只选取一个元素,而整个行列式恰好将所有这样的选取方法遍历一次。

另外,n\times n矩阵的每一行或每一列也可以看成是一个n元向量,这时矩阵的行列式也被称为这nn元向量组成的向量组的行列式。

行列式的性质

行列式的一些基本性质,可以由它的多线性以及交替性推出。

在行列式中,一行(列)元素全为0,则此行列式的值为0。

行列式简介及性质

  • 在行列式中,某一行(列)有公因子k,则可以提出k
    D={\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\ \vdots &\vdots &\dots &\vdots \\ {\color {blue}k}a_{i1}&{\color {blue}k}a_{i2}&\dots &{\color {blue}k}a_{in}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn} \end{vmatrix}}= {\color {blue}k}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\ \vdots &\vdots &\dots &\vdots \\ a_{i1}&a_{i2}&\dots &a_{in}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn} \end{vmatrix}}={\color {blue}k}D_{1}
  • 在行列式中,某一行(列)的每个元素是两数之和,则此行列式可拆分为两个相加的行列式。
    行列式简介及性质

  • 行列式中的两行(列)互换,改变行列式正负符号。
    行列式简介及性质

  • 在行列式中,有两行(列)对应成比例或相同,则此行列式的值为0。
    行列式简介及性质
  • 将一行(列)的{\displaystyle k}k倍加进另一行(列)里,行列式的值不变。
    行列式简介及性质
    注意:一行(列)的{\displaystyle k}k倍加上另一行(列),行列式的值改变。
    行列式简介及性质
  • 将行列式的行列互换,行列式的值不变,其中行列互换相当于转置。这个性质可以简单地记作
    行列式简介及性质
    例如
    行列式简介及性质

行列式的乘法定理:方块矩阵的乘积的行列式等于行列式的乘积。\displaystyle \det(AB)=\det(A)\det(B)。特别的,若将矩阵中的每一行每一列上的数都乘以一个常数r,那么所得到的行列式不是原来的r倍,而是{\displaystyle r^{n}}倍:
\det(rA)=\det(rI_{n}\cdot A)=\det(rI_{n})\cdot \det(A)=r^{n}\det(A)

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