反对称矩阵

在线性代数中，反对称矩阵（或称斜对称矩阵）是一个方形矩阵，其转置矩阵和自身的加法逆元相等。其满足：

$$A^T = − A$$
或写作$$A = (a_{ij})$$，各元素的关系为：

$$a_{ij} = -a_{ji}$$
例如，下例为一个反对称矩阵：

$$\begin{bmatrix} 0&2&-1 \\ -2&0&-4 \\ 1&4&0\end{bmatrix}$$
在非偶数域中，反对称矩阵中的主对角线元素皆为0。

反对称矩阵例子

$$\begin{pmatrix} 0&2&-1 \\ -2&0&-4 \\ 1&4&0\end{pmatrix}$$
,
$$\begin{pmatrix} 0&2 \\ -2&0 \end{pmatrix}$$

反对称矩阵的特性

• 反对称矩阵自身相乘的积是对称矩阵。
• 任意矩阵$$A$$，$$A^T – A$$是反对称矩阵。
• 若$$A$$是反对称矩阵，$$x$$是向量，$$x^T A x = 0$$
• 反对称矩阵的主对角线元素必是零，所以其迹数为零。

反对称矩阵的行列式

若$$A$$是$$n\times n$$的反对称矩阵，其行列式满足

$$\operatorname{det}(A)=\operatorname{det}(A^T)=\operatorname{det}(-A)=(-1)^n \operatorname{det}(A)$$。
若$$n$$是奇数，行列式等于零。这个结果叫雅可比定理。
若$$n$$是偶数，行列式可以写成部分元素的多项式的平方：$$\operatorname{det}(A)=\operatorname{Pf}(A)^2$$。
这个多项式$$\operatorname{Pf}(A)$$叫$$A$$的普法夫行列式。任意实反对称矩阵的行列式是非负数。

反对称矩阵的谱理论

反对称矩阵的特征根永远以成对的形式（±λ）出现，因此一个实数斜对称矩阵的非零特征根为纯虚数将会如下：$$iλ1, −iλ1, iλ2, −iλ2$$, …，其中 λk 是实数。

实斜对称矩阵是正规矩阵（它们与伴随矩阵可交换），因此满足谱定理的条件，它说明任何实反对称矩阵都可以用一个酉矩阵对角化。由于实斜对称矩阵的特征值是复数，因此无法用实矩阵来对角化。然而，通过正交变换，可以把每一个反对称矩阵化为方块对角线的形式。特别地，每一个$$2n × 2n$$的实斜对称矩阵都可以写成A = Q Σ QT的形式，其中Q是正交矩阵，且：

$$\Sigma = \begin{bmatrix} \begin{matrix}0&\lambda_1\\ -\lambda_1&0\end{matrix}& 0&\cdots&0 \\ 0&\begin{matrix}0&\lambda_2\\ -\lambda_2&0\end{matrix}&&0 \\ \vdots&&\ddots&\vdots \\ 0&0&\cdots&\begin{matrix}0&\lambda_r\\ -\lambda_r&0\end{matrix} \\ &&&&\begin{matrix}0 \\ & \ddots \\ &&0 \end{matrix} \end{bmatrix}$$
对于实数$$λk$$。这个矩阵的非零特征值是$$±iλk$$。在奇数维的情况中，$$Σ$$总是至少有一个行和一个列全是零。