反对称矩阵

在线性代数中,反对称矩阵(或称斜对称矩阵)是一个方形矩阵,其转置矩阵和自身的加法逆元相等。其满足:

A^T = − A
或写作A = (a_{ij}),各元素的关系为:

a_{ij} = -a_{ji}
例如,下例为一个反对称矩阵:

\begin{bmatrix} 0 & 2 & -1 \\ -2 & 0 & -4 \\ 1 & 4 & 0\end{bmatrix}
在非偶数域中,反对称矩阵中的主对角线元素皆为0。

反对称矩阵例子

\begin{pmatrix} 0 & 2 & -1 \\ -2 & 0 & -4 \\ 1 & 4 & 0\end{pmatrix}
,
\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}

反对称矩阵的特性

  • 反对称矩阵自身相乘的积是对称矩阵
  • 任意矩阵AA^T – A是反对称矩阵。
  • A是反对称矩阵,x是向量,x^T A x = 0
  • 反对称矩阵的主对角线元素必是零,所以其迹数为零。

反对称矩阵的行列式

An\times n的反对称矩阵,其行列式满足

\operatorname{det}(A)=\operatorname{det}(A^T)=\operatorname{det}(-A)=(-1)^n \operatorname{det}(A)
n是奇数,行列式等于零。这个结果叫雅可比定理。
n是偶数,行列式可以写成部分元素的多项式的平方:\operatorname{det}(A)=\operatorname{Pf}(A)^2
这个多项式\operatorname{Pf}(A)A的普法夫行列式。任意实反对称矩阵的行列式是非负数。

反对称矩阵的谱理论

反对称矩阵的特征根永远以成对的形式(±λ)出现,因此一个实数斜对称矩阵的非零特征根为纯虚数将会如下:iλ1, −iλ1, iλ2, −iλ2, …,其中 λk 是实数。

实斜对称矩阵是正规矩阵(它们与伴随矩阵可交换),因此满足谱定理的条件,它说明任何实反对称矩阵都可以用一个酉矩阵对角化。由于实斜对称矩阵的特征值是复数,因此无法用实矩阵来对角化。然而,通过正交变换,可以把每一个反对称矩阵化为方块对角线的形式。特别地,每一个2n × 2n的实斜对称矩阵都可以写成A = Q Σ QT的形式,其中Q是正交矩阵,且:

\Sigma = \begin{bmatrix} \begin{matrix}0 & \lambda_1\\ -\lambda_1 & 0\end{matrix} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \begin{matrix}0 & \lambda_2\\ -\lambda_2 & 0\end{matrix} & & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \begin{matrix}0 & \lambda_r\\ -\lambda_r & 0\end{matrix} \\ & & & & \begin{matrix}0 \\ & \ddots \\ & & 0 \end{matrix} \end{bmatrix}
对于实数λk。这个矩阵的非零特征值是±iλk。在奇数维的情况中,Σ总是至少有一个行和一个列全是零。

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