极客教程向量的大小是相对的，在有需要时，会规定单位向量，以其长度作为1。每个方向上都有一个单位向量。
向量之间可以如数字一样进行运算。本文介绍向量基本运算公式，常见的向量运算有：加法、减法、数与向量之间的乘法（数量积）以及向量与向量之间的乘法（向量积）。
加法与减法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。具体地，两个向量\vec{a}和\vec{b}相加，得到的是另一个向量。这个向量可以表示为\vec{a}和\vec{b}的起点重合后，以它们为邻边构成的平行四边形的一条对角线（以共同的起点为起点的那一条，见下图左），或者表示为将\vec{a}的终点和\vec{b}的起点重合后，从\vec{a}的起点指向\vec{b}的终点的向量：
向量 a 加向量 b
两个向量\vec{a}和\vec{b}的相减，则可以看成是向量\vec{a}加上一个与\vec{b}大小相等，方向相反的向量。又或者，\vec{a}和$\vec{b}的相减得到的向量可以表示为\vec{a}和\vec{b}的起点重合后，从\vec{b}的终点指向\vec{a}的终点的向量：
向量 a 减向量 b
当这两个向量数值、方向都不同，基本向量\vec{e}_1=(1,0,0),\vec{e}_2=(0,1,0),\vec{e}_3=(0,0,1)时，向量和计算为
\vec{a}+\vec{b}
=(a_1+b_1)\vec{e}_1
+(a_2+b_2)\vec{e}_2
+(a_3+b_3)\vec{e}_3
并且有如下的不等关系：
\left |\vec{a} \right | +\left |\vec{b} \right | \ge \left |\vec{a}+\vec{b} \right | \ge \left |\vec{a} \right | – \left |\vec{b} \right |
此外，向量的加法也满足交换律和结合律。
向量与积
向量空间分为有限维向量空间与无限维向量空间。在有限维向量空间中，可以找到一组（有限个）向量\vec{e}_1, \vec{e}_2, \cdots , \vec{e}_n，使得任意一个向量\vec{v}都可以唯一地表示成这组向量的线性组合：
\vec{v} =v_1 \vec{e}_1 + v_2 \vec{e}_2 + \cdots + v_n \vec{e}_n
其中的标量v_1, v_2, \cdots , v_n是随着向量\vec{v}而确定的。这样的一组向量称为向量空间的基。给定了向量空间以及一组基后，每个向量就可以用一个数组来表示了。两个向量\vec{v}和\vec{w}相同，当且仅当表示它们的数组一样。
\begin{array}{lcl}
v_1 &=& w_1 \\
v_2 &=& w_2 \\
\vdots \ && \vdots \\
v_n &=& w_n
\end{array}
两个向量\vec{v}和 \vec{w}的和：
\vec{v} + \vec{w} =(v_1 + w_1)\vec{e}_1 +(v_2 + w_2 ) \vec{e}_2 + \cdots +(v_n + w_n ) \vec{e}_n
它们的数量积为：
\vec{v} \cdot \vec{w} = v_1 \cdot w_1 + v_2 \cdot w_2 + \cdots + v_n \cdot w_n
而标量k与向量v的乘积则为：
k \cdot \vec{v} =(k \cdot v_1)\vec{e}_1 +(k \cdot v_2) \vec{e}_2 + \cdots +(k \cdot v_n) \vec{e}_n
标量乘法
一个标量k和一个向量\vec{v}之间可以做乘法，得出的结果是另一个与\vec{v}方向相同或相反，大小为\vec{v}的大小的｜k｜倍的向量，可以记成k\vec{v}。该种运算被称为标量乘法或数乘。-1乘以任意向量会得到它的反向量，0乘以任何向量都会得到零向量 \vec{0}。
数量积
数量积也叫点积，它是向量与向量的乘积，其结果为一个标量（非向量）。几何上，数量积可以定义如下：
设 \vec{a}、\vec{b} 为两个任意向量，它们的夹角为\theta ，则他们的数量积为：
{\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=\left|{\vec {a}}\right|\left|{\vec {b}}\right|\cos {\theta }}
即 \vec{b} 向量在 \vec{a} 向量方向上的投影长度（同方向为正反方向为负号），与 \vec{a} 向量长度的乘积。
向量积
向量积也叫叉积(向量叉乘)，外积，它也是向量与向量的乘积，不过需要注意的是，它的结果是个向量。它的几何意义是所得的向量与被乘向量所在平面垂直，方向由右手定则规定，大小是两个被乘向量张成的平行四边形的面积。所以向量积不满足交换律。举例来说 (1,0,0)\times (0,1,0)=(0,0,1) 但是 (0,1,0)\times (1,0,0)=(0,0,-1)。
设有向量{\displaystyle {\vec {a}}=a_{x}{\vec {i}}+a_{y}{\vec {j}}+a_{z}{\vec {k}}}、{\displaystyle {\vec {b}}=b_{x}{\vec {i}}+b_{y}{\vec {j}}+b_{z}{\vec {k}}}，
则其向量积的矩阵表达式可用下列符号表示：
{\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}}=
{\begin{vmatrix}
{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec{k}} \\
a_{x}&a_{y}&a_{z} \\
b_{x}&b_{y}&b_{z}
\end{vmatrix}}
混合积
三个向量\vec{a}、\vec{b}和\vec{c}的混合积定义为，物理意义为三向量始于同点时所构成的体积：
\vec{a}\cdot(\vec{b}\times \vec{c})=
\vec{b}\cdot(\vec{c}\times \vec{a})=
\vec{c}\cdot(\vec{a}\times \vec{b})
关于向量运算的定理
向量与定比分点、中点公式
在实际应用中，向量运算时常会运用到定比分点定理。
设平面直角坐标系Oxy原点O(0,0)，内有点A(x_1,y_1)，点B(x_2,y_2)，点P(x_0,y_0)，点P在点A、B之间，且
\left|\overrightarrow{A P}\right|:\left|\overrightarrow{P B}\right|=n，则：
\overrightarrow{O P}\left(\frac{x_1+nx_2}{1+n},\frac{y_1+ny_2}{1+n}\right)
特殊地，当n=1，
\overrightarrow{O P}=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)
相应的有中点P坐标： \left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)
实际上，上述结论可以推广到空间向量中。
设空间直角坐标系Oxyz内原点为O(0,0,0)，有点A(x_1,y_1,z_1)，B(x_2,y_2,z_2)，A、B点间有一点P，且
\left|\overrightarrow{A P}\right|:\left|\overrightarrow{P B}\right|=n，
则：\overrightarrow{O P}=\left(\frac{x_1+nx_2}{1+n},\frac{y_1+ny_2}{1+n},\frac{z_1+nz_2}{1+n}\right)
中点P坐标：
\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2},\frac{z_1+z_2}{2}\right)