向量的性质和特殊向量

特殊向量

特殊向量类似于数字中的1（单位元）、相反数（加法逆元）、0（加法单位元），向量中有单位向量（单位元）、反向量（加法逆元）、零向量（加法单位元）、等概念量。此外，还有方向向量、相等向量等概念。

单位向量

对于任意向量$$\vec{a}$$，不论方向如何，若其大小为单位长度，则称其为$$\vec{a}$$方向上的单位向量（Unit vector）。单位向量通常被记为$$\vec{u}$$。

特殊地，三维笛卡尔坐标系上的三个基向量$${\displaystyle {\vec {i}}=(1,0,0)}，{\displaystyle {\vec {j}}=(0,1,0)}，{\displaystyle {\vec {k}}=(0,0,1)}$$都是单位向量。

反向量

一个向量$$\vec{v}$$的反向量（Opposite vector）与它大小相等，但方向相反，一般记作$${\displaystyle -{\vec {v}}}$$。如果向量$$\vec{a}$$是向量$$\vec{b}$$的反向量，那么$$\vec{b}$$也是$$\vec{a}的反向量$$。

另外，向量$$\vec{a}$$反向量也可按如下定义：

“ 对于给定向量$$\vec{a}$$，若∃向量$$\vec{b}$$，使得$${\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}={\vec {0}}}$$成立，则向量$$\vec{b}$$称为向量$$\vec{a}$$的反向量。 ”

零向量

始点与终点重合，即大小为0的向量，被称为零向量（Zero vector），记以数字0上加箭头，即$$\vec{0}$$。有时亦可以用粗体的0表示，如$$\mathbf{0}$$。在坐标表示下，不论含有多少分量，不论指向任何方向，若所有的分量均为0的向量即为零向量。关于零向量有两点值得一提：

零向量依旧具有方向性，但方向不定。因此，零向量与任一向量平行。
零向量不等于数量0，它们是两种性质完全不同的对象，即$${\displaystyle {\vec {0}}\neq 0}$$。
零向量可以如下进行形式化定义：

“ 给定一n 维向量$$\vec{z}$$，若对于任意的同维向量$$\vec{a}$$，总有$${\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {z}}={\vec {a}}}$$成立，则向量$$\vec{z}$$称为n 维零向量，通常被记作$$\vec{0}$$或$$\mathbf{0}$$。 ”

等向量

不论起点终点，两向量长度、方向相等，即为等向量或相等向量（Identical vector）。

对于任意向量$$\vec{a}$$，若其一个相等向量为$$\vec{b}$$，则对$$\vec{b}$$和数字-1进行数乘运算后得到的向量$${\displaystyle -{\vec {b}}}$$即$$\vec{a}$$的反向量。

另外，类似于反向量的定义，向量$$\vec{a}$$等向量也可按如下定义：

“ 对于给定向量$$\vec{a}$$，若∃向量$$\vec{b}$$，使得$${\displaystyle {\vec {a}}-{\vec {b}}={\vec {0}}}$$成立，则向量$$\vec{b}$$称为向量$$\vec{a}$$的相等向量。 ”

方向向量

方向向量（Directional vector）的形式化定义如下：

“ 对于任意向量$$\vec{a}$$，若存在一个向量$$\vec{b}$$，两者的方向相同（大小可以不同），则$$\vec{b}$$是$$\vec{a}$$的一个方向向量。 ”
一般地，所有方向相同的向量之间互为方向向量。

向量的性质

有向线段

有向线段的概念建构于向量的方向与长度，差别在于多定义了始点与终点。在文字描述时，如果已知某有向线段的起点和终点分别是A和B，此线段的长度可以记为$$|\overrightarrow{AB}|$$，即$$|\overrightarrow{AB}| = \overline{AB}$$。

大小

向量的大小（Magnitude）也称模长、长度。几何上，当确定了单位长度后作图所得的向量的长度，即为向量的大小，记作$$\left| \vec{v} \right|$$。在有限维赋范线性空间中，向量的模长也称为范数（Norm），记作$$\left || \vec{v}\right ||$$。已知向量的坐标，就可以知道它的模长。

设向量$$\vec{v}=(v_1,v_2,\cdots,v_n)$$，其范数的计算表达式由弗罗贝尼乌斯范数（一种同时适用于向量和矩阵的范数计算方法）给出： $$\left ||\vec{v} \right ||= \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2}$$。

特殊地，对于n 维欧几里得空间 $$R^n$$上的向量$$\vec{v}=(v_1,v_2,\cdots,v_n)$$，其模长或范数为：$${\displaystyle \left|{\vec {v}}\right|=\left||{\vec {v}}\right||={\sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+\cdots +v_{n}^{2}}}}$$。

更特殊地，对于三维笛卡尔坐标系下的向量$${\displaystyle {\vec {a}}=(x,y,z)}$$，其模长为： $${\displaystyle \left||{\vec {a}}\right||={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$$。

夹角

$$\overrightarrow{a}$$与$${\displaystyle {\overrightarrow {b}}}$$具有夹角$$\theta$$
向量的夹角（Included angle）是对于两个向量而言的概念。对于任意两个给定的向量$$\vec{a}$$和$$\vec{b}$$，二者的夹角即将二者图示化后两箭头所夹之角$$\theta$$ 。由于夹角具有互补性，因此在不同的出发规定、不同的旋转方向下，所得夹角亦不同。

向量的夹角可由数量积的定义导出计算公式，即：

$${\displaystyle \cos \theta ={\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}{\left||{\vec {a}}\right||\left||{\vec {b}}\right||}}}$$

线性相关性

线性相关
对于$$m$$个向量$$\vec{v}_1，\vec{v}_2，…，\vec{v}_m$$，如果存在一组不全为零的$$m$$个数$$a_1、a_2、…、a_m$$，使得 ，那么，称$$m$$个向量$$\vec{v}_1，\vec{v}_2，…，\vec{v}_m$$ 线性相关或线性相依（Linearly dependent）。

线性无关
如果这样不全为零的$$m$$个数不存在，即上述向量等式仅当$$a_{1} =a_2 = … = a_m = 0$$时才能成立，就称向量$$\vec{v}_1，\vec{v}_2，…，\vec{v}_m$$ 线性无关或线性独立（Linearly independent）。