辛矩阵

在数学中，辛矩阵是指一个2n\times 2n的矩阵M（通常布于实数或复数域上），使之满足

M^{T}\Omega M=\Omega。
其中M^{T}表M的转置矩阵，而\Omega 是一个固定的可逆斜对称矩阵；这类矩阵在适当的变化后皆能表为

\Omega={\begin{bmatrix}
0&I_{n}\\
-I_{n}&0
\end{bmatrix}}
或

\Omega ={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}}&&0\\&\ddots &\\0&&{\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}}
\end{bmatrix}}
两者的差异仅在于基的排列，其中I_n是n\times n 单位矩阵。此外，\Omega 行列式值等于一，且其逆矩阵等于-\Omega。

辛矩阵的性质

凡辛矩阵皆可逆，其逆矩阵可表为

M^{{-1}}=\Omega ^{{-1}}M^{T}\Omega
因此，辛矩阵具有如下运算性质：

\Omega^T= – \Omega = \Omega^{ – 1},
\Omega^T \Omega = \Omega \Omega^T = I_{2n},
\Omega\Omega= – I_{2n},
det(\Omega)=1 。
此外，辛矩阵构成的集合在矩阵乘法下封闭，因此一个域F上的所有2n阶辛矩阵构成一个群，记为{\mathrm {Sp}}(2n,F)。事实上它是{\mathrm {GL}}(2n,F)的闭代数子群，其维度为n(2n+1)。当F={\mathbb {R}},{\mathbb {C}}时，{\mathrm {Sp}}(2n,F)带有自然的（复）李群结构。

由定义可知辛矩阵的行列式等于\pm 1；事实上，可以利用普法夫值的公式：

由于M^{T}\Omega M=\Omega 、，遂导出det(M)=1。

当n=1时，有{\mathrm {Sp}}(2)={\mathrm {SL}}(2)。换言之：二阶扭对称矩阵即行列式等于一的二阶矩阵。

辛矩阵的扭对称变换

在线性代数的抽象框架里，我们可以用偶数维向量空间V上的线性变换取代偶数阶矩阵，并固定一个非退化反对称双线性形\omega :V\times V\to F以取代矩阵\Omega （赋有这类双线性形的空间称为扭对称向量空间），如此便得到与基底无关的定义：

定义。一个扭对称向量空间(V,\omega )上的线性变换L:V\to V若满足
\omega (Lu,Lv)=\omega (u,v)。
则称L为扭对称变换。
考虑\eta :=\wedge ^{{{\frac {\dim V}{2}}}}\omega ，由于，故 ；另一方面，L^{*}(\eta )=(\det L)\cdot \eta ，于是得到\det L=1。由此导出扭对称变换之行列式值等于一。

固定V的一组基，借此将L写成矩阵M，并将\omega 表成斜对称矩阵\Omega ，便回到先前的定义：

M^{T}\Omega M=\Omega 。