辛矩阵

在数学中，辛矩阵是指一个$$2n\times 2n$$的矩阵M（通常布于实数或复数域上），使之满足

$$M^{T}\Omega M=\Omega$$。
其中$$M^{T}$$表$$M$$的转置矩阵，而$$\Omega$$ 是一个固定的可逆斜对称矩阵；这类矩阵在适当的变化后皆能表为

$$\Omega$$=$${\begin{bmatrix} 0&I_{n}\\ -I_{n}&0 \end{bmatrix}}$$
或

$$\Omega ={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}}&&0\\&\ddots &\\0&&{\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}} \end{bmatrix}}$$
两者的差异仅在于基的排列，其中$$I_n$$是$$n\times n$$ 单位矩阵。此外，$$\Omega$$ 行列式值等于一，且其逆矩阵等于$$-\Omega$$。

辛矩阵的性质

凡辛矩阵皆可逆，其逆矩阵可表为

$$M^{{-1}}=\Omega ^{{-1}}M^{T}\Omega$$
因此，辛矩阵具有如下运算性质：

$$\Omega^T= – \Omega = \Omega^{ – 1}$$,
$$\Omega^T \Omega = \Omega \Omega^T = I_{2n}$$,
$$\Omega\Omega= – I_{2n}$$,
$$det(\Omega)=1$$ 。
此外，辛矩阵构成的集合在矩阵乘法下封闭，因此一个域$$F$$上的所有$$2n$$阶辛矩阵构成一个群，记为$${\mathrm {Sp}}(2n,F)$$。事实上它是$${\mathrm {GL}}(2n,F)$$的闭代数子群，其维度为$$n(2n+1)$$。当$$F={\mathbb {R}},{\mathbb {C}}$$时，$${\mathrm {Sp}}(2n,F)$$带有自然的（复）李群结构。

由定义可知辛矩阵的行列式等于$$\pm 1$$；事实上，可以利用普法夫值的公式：

由于$$M^{T}\Omega M=\Omega$$ 、，遂导出$$det(M)=1$$。

当$$n=1$$时，有$${\mathrm {Sp}}(2)={\mathrm {SL}}(2)$$。换言之：二阶扭对称矩阵即行列式等于一的二阶矩阵。

辛矩阵的扭对称变换

在线性代数的抽象框架里，我们可以用偶数维向量空间$$V$$上的线性变换取代偶数阶矩阵，并固定一个非退化反对称双线性形$$\omega :V\times V\to F$$以取代矩阵$$\Omega$$ （赋有这类双线性形的空间称为扭对称向量空间），如此便得到与基底无关的定义：

定义。一个扭对称向量空间$$(V,\omega )$$上的线性变换$$L:V\to V$$若满足
$$\omega (Lu,Lv)=\omega (u,v)$$。
则称$$L$$为扭对称变换。
考虑$$\eta :=\wedge ^{{{\frac {\dim V}{2}}}}\omega$$ ，由于，故 ；另一方面，$$L^{*}(\eta )=(\det L)\cdot \eta$$ ，于是得到$$\det L=1$$。由此导出扭对称变换之行列式值等于一。

固定$$V$$的一组基，借此将$$L$$写成矩阵$$M$$，并将$$\omega$$ 表成斜对称矩阵$$\Omega$$ ，便回到先前的定义：

$$M^{T}\Omega M=\Omega$$ 。