辛矩阵|极客教程

在数学中，辛矩阵是指一个 $ReferenceError: katex is not defined$ 的矩阵M（通常布于实数或复数域上），使之满足

$ReferenceError: katex is not defined$ 。
其中 $ReferenceError: katex is not defined$ 表 $ReferenceError: katex is not defined$ 的转置矩阵，而 $ReferenceError: katex is not defined$ 是一个固定的可逆斜对称矩阵；这类矩阵在适当的变化后皆能表为

$ReferenceError: katex is not defined$ = $ReferenceError: katex is not defined$
或

$ReferenceError: katex is not defined$
两者的差异仅在于基的排列，其中 $ReferenceError: katex is not defined$ 是 $ReferenceError: katex is not defined$ 单位矩阵。此外， $ReferenceError: katex is not defined$ 行列式值等于一，且其逆矩阵等于 $ReferenceError: katex is not defined$ 。

辛矩阵的性质

凡辛矩阵皆可逆，其逆矩阵可表为

$ReferenceError: katex is not defined$
因此，辛矩阵具有如下运算性质：

$ReferenceError: katex is not defined$ ,
$ReferenceError: katex is not defined$ ,
$ReferenceError: katex is not defined$ ,
$ReferenceError: katex is not defined$ 。
此外，辛矩阵构成的集合在矩阵乘法下封闭，因此一个域 $ReferenceError: katex is not defined$ 上的所有 $ReferenceError: katex is not defined$ 阶辛矩阵构成一个群，记为 $ReferenceError: katex is not defined$ 。事实上它是 $ReferenceError: katex is not defined$ 的闭代数子群，其维度为 $ReferenceError: katex is not defined$ 。当 $ReferenceError: katex is not defined$ 时， $ReferenceError: katex is not defined$ 带有自然的（复）李群结构。

由定义可知辛矩阵的行列式等于 $ReferenceError: katex is not defined$ ；事实上，可以利用普法夫值的公式：

由于 $ReferenceError: katex is not defined$ 、辛矩阵，遂导出 $ReferenceError: katex is not defined$ 。

当 $ReferenceError: katex is not defined$ 时，有 $ReferenceError: katex is not defined$ 。换言之：二阶扭对称矩阵即行列式等于一的二阶矩阵。

辛矩阵的扭对称变换

在线性代数的抽象框架里，我们可以用偶数维向量空间 $ReferenceError: katex is not defined$ 上的线性变换取代偶数阶矩阵，并固定一个非退化反对称双线性形 $ReferenceError: katex is not defined$ 以取代矩阵 $ReferenceError: katex is not defined$ （赋有这类双线性形的空间称为扭对称向量空间），如此便得到与基底无关的定义：

定义。一个扭对称向量空间 $ReferenceError: katex is not defined$ 上的线性变换 $ReferenceError: katex is not defined$ 若满足
$ReferenceError: katex is not defined$ 。
则称 $ReferenceError: katex is not defined$ 为扭对称变换。
考虑 $ReferenceError: katex is not defined$ ，由于辛矩阵，故；另一方面， $ReferenceError: katex is not defined$ ，于是得到 $ReferenceError: katex is not defined$ 。由此导出扭对称变换之行列式值等于一。

固定 $ReferenceError: katex is not defined$ 的一组基，借此将 $ReferenceError: katex is not defined$ 写成矩阵 $ReferenceError: katex is not defined$ ，并将 $ReferenceError: katex is not defined$ 表成斜对称矩阵 $ReferenceError: katex is not defined$ ，便回到先前的定义：

$ReferenceError: katex is not defined$ 。