辛矩阵

在数学中,辛矩阵是指一个2n\times 2n的矩阵M(通常布于实数或复数域上),使之满足

M^{T}\Omega M=\Omega
其中M^{T}M的转置矩阵,而\Omega 是一个固定的可逆斜对称矩阵;这类矩阵在适当的变化后皆能表为

\Omega ={\begin{bmatrix} 0&I_{n}\\ -I_{n}&0 \end{bmatrix}}

\Omega ={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}}&&0\\&\ddots &\\0&&{\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}} \end{bmatrix}}
两者的差异仅在于基的排列,其中I_nn\times n 单位矩阵。此外,\Omega 行列式值等于一,且其逆矩阵等于-\Omega

辛矩阵的性质

凡辛矩阵皆可逆,其逆矩阵可表为

M^{{-1}}=\Omega ^{{-1}}M^{T}\Omega
因此,辛矩阵具有如下运算性质:

\Omega^T= – \Omega = \Omega^{ – 1},
\Omega^T \Omega = \Omega \Omega^T = I_{2n} ,
\Omega\Omega= – I_{2n},
det(\Omega)=1
此外,辛矩阵构成的集合在矩阵乘法下封闭,因此一个域F上的所有2n阶辛矩阵构成一个群,记为{\mathrm {Sp}}(2n,F)。事实上它是{\mathrm {GL}}(2n,F)的闭代数子群,其维度为n(2n+1)。当F={\mathbb {R}},{\mathbb {C}}时,{\mathrm {Sp}}(2n,F)带有自然的(复)李群结构。

由定义可知辛矩阵的行列式等于\pm 1;事实上,可以利用普法夫值的公式:
辛矩阵

由于M^{T}\Omega M=\Omega辛矩阵,遂导出det(M)=1

n=1时,有{\mathrm {Sp}}(2)={\mathrm {SL}}(2)。换言之:二阶扭对称矩阵即行列式等于一的二阶矩阵。

辛矩阵的扭对称变换

在线性代数的抽象框架里,我们可以用偶数维向量空间V上的线性变换取代偶数阶矩阵,并固定一个非退化反对称双线性形\omega :V\times V\to F以取代矩阵\Omega (赋有这类双线性形的空间称为扭对称向量空间),如此便得到与基底无关的定义:

定义。一个扭对称向量空间(V,\omega )上的线性变换L:V\to V若满足
\omega (Lu,Lv)=\omega (u,v)
则称L为扭对称变换。
考虑\eta :=\wedge ^{{{\frac {\dim V}{2}}}}\omega ,由于辛矩阵,故 辛矩阵;另一方面,L^{*}(\eta )=(\det L)\cdot \eta ,于是得到\det L=1。由此导出扭对称变换之行列式值等于一。

固定V的一组基,借此将L写成矩阵M,并将\omega 表成斜对称矩阵\Omega ,便回到先前的定义:

M^{T}\Omega M=\Omega

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