矩阵的秩|极客教程

矩阵的秩，在线性代数中，一个矩阵 A 的列秩是A 的线性无关的纵列的极大数目。类似地，行秩是A 的线性无关的横行的极大数目。矩阵的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵 A 的秩。通常表示为 $\mathrm {r} (A)$ , $\mathrm {rank} (A)$ 或 $\mathrm {rk} (A)$ 。

矩阵的秩是什么

用行列式定义

设 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵。若 $A$ 至少有一个 $r$ 阶非零子式，而其所有 ${\displaystyle r+1}$ 阶子式全为零，则称 $r$ 为 $A$ 的秩。

用向量组的秩定义

对于 $m$ 维线性空间 $V$ 中的一个向量组 $F={\alpha _{1},\alpha _{2},…,\alpha _{s}}$ ，若 $F\supseteq S={\alpha _{1},\alpha _{2},…,\alpha _{r}}$ 中的 $r$ 个向量线性无关，且若 r<s， $\forall \alpha _{r+1}\in F-S$ ， $S\cup {\alpha _{r+1}}$ 中 ${\displaystyle r+1}$ 个向量都线性相关，则称 ${\alpha _{1},\alpha _{2},…,\alpha _{r}}$ 为 ${\alpha _{1},\alpha _{2},…,\alpha _{s}}$ 的极大线性无关组， $r$ 为 ${\alpha _{1},\alpha _{2},…,\alpha _{s}}$ 的秩。可以证明 $F$ 的秩等于向量组 $F$ 生成的子空间的维数。矩阵 $A$ 的列秩定义为 $A$ 的列向量组的秩，也即矩阵的列空间的维数。类似地，矩阵的行秩定义为 $A$ 的行向量组的秩，即矩阵的行空间的维数。

用线性映射定义

考虑线性映射：

$f_A : F^n \to F^m$
$x \mapsto A \cdot x$
对于每个矩阵 $A$ ， $f_A$ 都是一个线性映射，同时，对每个 $F^n \to F^m$ 的线性映射 $f$ ，都存在矩阵 $A$ 使得 $f=f_A$ 。也就是说，映射

$\Phi : \mathcal{M}_n (\mathbb{K}) \to \mathcal{L}(F^n,F^m)$
$A \mapsto f_A$
是一个同构映射。所以一个矩阵 $A$ 的秩还可定义为 $f_A$ 的像的维度（像与核的讨论参见线性映射）。矩阵 $A$ 称为 $f_A$ 的变换矩阵。这个定义的好处是适用于任何线性映射而不需要指定矩阵，因为每个线性映射有且仅有一个矩阵与其对应。秩还可以定义为 ${\displaystyle n-f}$ 的核的维度；秩-零化度定理声称它等于 $f$ 的像的维度。

行秩列秩相等性

矩阵的行秩与列秩相等，是线性代数基本定理的重要组成部分。其基本证明思路是，矩阵可以看作线性映射的变换矩阵，列秩为像空间的维度，行秩为非零原像空间的维度，因此列秩与行秩相等，即像空间的维度与非零原像空间的维度相等（这里的非零原像空间是指约去了零空间后的商空间：原像空间）。这从矩阵的奇异值分解就可以看出来。

给出这一结果的两种证明. 第一个证明是简短的，仅用到向量的线性组合的基本性质. 第二个证明利用了正交性. 第一个证明利用了列空间的基, 第二个证明利用了行向量空间的基. 第一个证明适用于定义在标量域上的矩阵，第二个证明适用于内积空间。二者都适用于实或复的欧氏空间，也都易于修改去证明当A是线性变换的情形.

矩阵的秩的性质

我们假定A是在域F上的m × n矩阵并描述了上述线性映射。

m × n矩阵的秩不大于m且不大于n的一个非负整数，表示为 rk(A) ≤ min(m, n)。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩；类似的，否则矩阵是秩不足（或称为“欠秩”）的。
只有零矩阵有秩0
A的秩最大为min(m,n)
f是单射，当且仅当A有秩n（在这种情况下，我们称A有“列满秩”）。
f是满射，当且仅当A有秩m（在这种情况下，我们称A有“行满秩”）。
在方块矩阵A (就是m = n)的情况下，则A是可逆的，当且仅当A有秩n（也就是A有满秩）。
如果B是任何n × k矩阵，则AB的秩最大为A的秩和B的秩的小者。即：
$\operatorname{rank}(AB) \leq \min(\operatorname{rank}\ A, \operatorname{rank}\ B)$ .
推广到若干个矩阵的情况，就是：
$\operatorname {rank} (A_{1}A_{2}\cdots A_{n})\leq \min(\operatorname {rank} \ A_{1},\operatorname {rank} \ A_{2},\cdots ,\operatorname {rank} \ A_{n}).$
A的秩等于r，当且仅当存在一个可逆m × m矩阵X和一个可逆的n × n矩阵Y使得
$XAY = \begin{bmatrix} I_r&0 \\ 0&0 \end{bmatrix}$
这里的Ir指示r × r 单位矩阵。
证明可以通过高斯消元法构造性地给出。
西尔维斯特不等式: 如果 A 是一个 m × n 的矩阵且 B 是 n × k 的, 则
$\operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B) – n \leq \operatorname{rank}(A B)$ .
这是下一个不等式的特例.
这个不等式是由Frobenius提出的: 如果 AB, ABC 和 BC 有定义, 则
$\operatorname{rank}(AB) + \operatorname{rank}(BC) \le \operatorname{rank}(B) + \operatorname{rank}(ABC)$ .
矩阵的秩加上矩阵的零化度等于矩阵的纵列数（这就是秩-零化度定理）。
如果 A 是实数上的矩阵，那么 A 的秩和它对应格拉姆矩阵的秩相等。于是，对于实矩阵
$\operatorname{rank}(A^T A) = \operatorname{rank}(A A^T) = \operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(A^T)$ .
该性质可以通过它们的零空间证明. 格拉姆矩阵的零空间由所有满足 $A^T A x = 0$ 的向量 $x$ 组成。如果上式成立, 那么下式也成立： $0 = x^T A^T A x = |A x|^2$ ，于是， ${\displaystyle Ax=0}$ ，即 $A^{T}A$ 与 $A$ 的零空间相同.

向量组的线性相关性

将 $m$ 个 $n$ 维列向量排列成 $n\times m$ 的矩阵A，这个对应矩阵的秩即为原向量组的秩。

原向量组线性相关的充分必要条件为：

$r(A) 如果 r(A) = m 则向量组线性无关。另外，不存在$

$r(A) > m$
特殊的，若向量的个数 $m$ 大于向量的维数 $n$ ，则根据：

$r(A) \le n 这个向量组必然线性相关。$

矩阵的秩怎么求

计算矩阵A的秩的最容易的方式是高斯消元法，即利用矩阵的初等变换生成一个行阶梯形矩阵，由于矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，因此A的行梯阵形式有同A一样的秩。经过初等变换的矩阵的非零行的数目就是原矩阵的秩。

例如考虑4 × 4矩阵

$A = \begin{bmatrix} 2&4&1&3 \\ -1&-2&1&0 \\ 0&0&2&2 \\ 3&6&2&5 \end{bmatrix}$
我们看到第2纵列是第1纵列的两倍，而第4纵列等于第1和第3纵列的总和。第1和第3纵列是线性无关的，所以A的秩是2。这可以用高斯算法验证。它生成下列A的行梯阵形式:

$A = \begin{bmatrix} 1&2&0&1 \\ 0&0&1&1 \\ 0&0&0&0 \\ 0&0&0&0 \end{bmatrix}$
它有两个非零的横行。

在应用在计算机上的浮点数的时候，基本高斯消去（LU分解）可能是不稳定的，应当使用秩启示（revealing）分解。一个有效的替代者是奇异值分解（SVD），但还有更少代价的选择，比如有支点（pivoting）的QR分解，它也比高斯消去在数值上更强壮。秩的数值判定要求对一个值比如来自SVD的一个奇异值是否为零的依据，实际选择依赖于矩阵和应用二者。