矩阵的秩

矩阵的秩，在线性代数中，一个矩阵 A 的列秩是A 的线性无关的纵列的极大数目。类似地，行秩是A 的线性无关的横行的极大数目。矩阵的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵 A 的秩。通常表示为 $${\displaystyle \mathrm {r} (A)}$$ ,$${\displaystyle \mathrm {rank} (A)}$$ 或$${\displaystyle \mathrm {rk} (A)}$$。

矩阵的秩是什么

用行列式定义

设 $$A$$ 为 $$m\times n$$ 矩阵。若 $$A$$ 至少有一个 $$r$$ 阶非零子式，而其所有 $${\displaystyle r+1}$$阶子式全为零，则称 $$r$$ 为$$A$$ 的秩。

用向量组的秩定义

对于 $$m$$ 维线性空间 $$V$$ 中的一个向量组 $${\displaystyle F={\alpha _{1},\alpha _{2},…,\alpha _{s}}}$$，若 $${\displaystyle F\supseteq S={\alpha _{1},\alpha _{2},…,\alpha _{r}}}$$ 中的$$r$$ 个向量线性无关，且若 r<s，$${\displaystyle \forall \alpha _{r+1}\in F-S}$$，$${\displaystyle S\cup {\alpha _{r+1}}}$$中 $${\displaystyle r+1}$$ 个向量都线性相关，则称 $${\displaystyle {\alpha _{1},\alpha _{2},…,\alpha _{r}}}$$ 为 $${\displaystyle {\alpha _{1},\alpha _{2},…,\alpha _{s}}}$$ 的极大线性无关组，$$r$$ 为 $${\displaystyle {\alpha _{1},\alpha _{2},…,\alpha _{s}}}$$ 的秩。可以证明 $$F$$ 的秩等于向量组 $$F$$ 生成的子空间的维数。 矩阵 $$A$$ 的列秩定义为 $$A$$ 的列向量组的秩，也即矩阵的列空间的维数。类似地，矩阵的行秩定义为 $$A$$ 的行向量组的秩，即矩阵的行空间的维数。

用线性映射定义

考虑线性映射：

$$f_A : F^n \to F^m$$
$$x \mapsto A \cdot x$$
对于每个矩阵 $$A$$，$$f_A$$ 都是一个线性映射，同时，对每个$$F^n \to F^m$$ 的 线性映射 $$f$$，都存在矩阵$$A$$使得 $$f=f_A$$。也就是说，映射

$$\Phi : \mathcal{M}_n (\mathbb{K}) \to \mathcal{L}(F^n,F^m)$$
$$A \mapsto f_A$$
是一个同构映射。所以一个矩阵 $$A$$ 的秩还可定义为 $$f_A$$ 的像的维度（像与核的讨论参见线性映射）。矩阵 $$A$$ 称为 $$f_A$$ 的变换矩阵。这个定义的好处是适用于任何线性映射而不需要指定矩阵，因为每个线性映射有且仅有一个矩阵与其对应。秩还可以定义为 $${\displaystyle n-f}$$ 的核的维度；秩-零化度定理声称它等于 $$f$$ 的像的维度。

行秩列秩相等性

矩阵的行秩与列秩相等，是线性代数基本定理的重要组成部分。其基本证明思路是，矩阵可以看作线性映射的变换矩阵，列秩为像空间的维度，行秩为非零原像空间的维度，因此列秩与行秩相等，即像空间的维度与非零原像空间的维度相等（这里的非零原像空间是指约去了零空间后的商空间：原像空间）。这从矩阵的奇异值分解就可以看出来。

给出这一结果的两种证明. 第一个证明是简短的，仅用到向量的线性组合的基本性质. 第二个证明利用了正交性. 第一个证明利用了列空间的基, 第二个证明利用了行向量空间的基. 第一个证明适用于定义在标量域上的矩阵，第二个证明适用于内积空间。二者都适用于实或复的欧氏空间，也都易于修改去证明当A是线性变换的情形.

矩阵的秩的性质

我们假定A是在域F上的m × n矩阵并描述了上述线性映射。

• m × n矩阵的秩不大于m且不大于n的一个非负整数，表示为 rk(A) ≤ min(m, n)。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩；类似的，否则矩阵是秩不足（或称为“欠秩”）的。
• 只有零矩阵有秩0
• A的秩最大为min(m,n)
• f是单射，当且仅当A有秩n（在这种情况下，我们称A有“列满秩”）。
• f是满射，当且仅当A有秩m（在这种情况下，我们称A有“行满秩”）。
• 在方块矩阵A (就是m = n)的情况下，则A是可逆的，当且仅当A有秩n（也就是A有满秩）。
• 如果B是任何n × k矩阵，则AB的秩最大为A的秩和B的秩的小者。即：
  $$\operatorname{rank}(AB) \leq \min(\operatorname{rank}\ A, \operatorname{rank}\ B)$$.
  推广到若干个矩阵的情况，就是：
  $${\displaystyle \operatorname {rank} (A_{1}A_{2}\cdots A_{n})\leq \min(\operatorname {rank} \ A_{1},\operatorname {rank} \ A_{2},\cdots ,\operatorname {rank} \ A_{n}).}$$

• A的秩等于r，当且仅当存在一个可逆m × m矩阵X和一个可逆的n × n矩阵Y使得
  $$XAY = \begin{bmatrix} I_r&0 \\ 0&0 \end{bmatrix}$$
  这里的Ir指示r × r 单位矩阵。
  证明可以通过高斯消元法构造性地给出。

• 西尔维斯特不等式: 如果 A 是一个 m × n 的矩阵且 B 是 n × k 的, 则
  $$\operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B) – n \leq \operatorname{rank}(A B)$$.
  这是下一个不等式的特例.
• 这个不等式是由Frobenius提出的: 如果 AB, ABC 和 BC 有定义, 则
  $$\operatorname{rank}(AB) + \operatorname{rank}(BC) \le \operatorname{rank}(B) + \operatorname{rank}(ABC)$$.
• 矩阵的秩加上矩阵的零化度等于矩阵的纵列数（这就是秩-零化度定理）。
• 如果 A 是实数上的矩阵，那么 A 的秩和它对应格拉姆矩阵的秩相等。于是，对于实矩阵
  $$\operatorname{rank}(A^T A) = \operatorname{rank}(A A^T) = \operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(A^T)$$.
  该性质可以通过它们的零空间证明. 格拉姆矩阵的零空间由所有满足$$A^T A x = 0$$的向量$$x$$组成。如果上式成立, 那么下式也成立： $$0 = x^T A^T A x = |A x|^2$$，于是，$${\displaystyle Ax=0}$$，即$${\displaystyle A^{T}A}$$与$$A$$的零空间相同.

向量组的线性相关性

将$$m$$个$$n$$维列向量排列成$$n\times m$$的矩阵A，这个对应矩阵的秩即为原向量组的秩。

原向量组线性相关的充分必要条件为：

$$r(A) 如果 r(A) = m 则向量组线性无关。另外，不存在$$

$$r(A) > m$$
特殊的，若向量的个数$$m$$大于向量的维数$$n$$，则根据：

$$r(A) \le n 这个向量组必然线性相关。$$

矩阵的秩怎么求

计算矩阵A的秩的最容易的方式是高斯消元法，即利用矩阵的初等变换生成一个行阶梯形矩阵，由于矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，因此A的行梯阵形式有同A一样的秩。经过初等变换的矩阵的非零行的数目就是原矩阵的秩。

例如考虑4 × 4矩阵

$$A = \begin{bmatrix} 2&4&1&3 \\ -1&-2&1&0 \\ 0&0&2&2 \\ 3&6&2&5 \end{bmatrix}$$
我们看到第2纵列是第1纵列的两倍，而第4纵列等于第1和第3纵列的总和。第1和第3纵列是线性无关的，所以A的秩是2。这可以用高斯算法验证。它生成下列A的行梯阵形式:

$$A = \begin{bmatrix} 1&2&0&1 \\ 0&0&1&1 \\ 0&0&0&0 \\ 0&0&0&0 \end{bmatrix}$$
它有两个非零的横行。

在应用在计算机上的浮点数的时候，基本高斯消去（LU分解）可能是不稳定的，应当使用秩启示（revealing）分解。一个有效的替代者是奇异值分解（SVD），但还有更少代价的选择，比如有支点（pivoting）的QR分解，它也比高斯消去在数值上更强壮。秩的数值判定要求对一个值比如来自SVD的一个奇异值是否为零的依据，实际选择依赖于矩阵和应用二者。

矩阵的秩的应用

计算矩阵的秩的一个有用应用是计算线性方程组解的数目。如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则该方程组有解。在这种情况下，如果它的秩等于方程的数目那么该方程组有唯一的一个精确解。如果增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩，则方程组是不一致（Inconsistent）的。