单位矩阵

在线性代数中,nn单位矩阵,是一个n×nn\times n的方形矩阵,其主对角线元素为1,其余元素为0。单位矩阵以InI_n表示;如果阶数可忽略,或可由前后文确定的话,也可简记为II(或者E)。
I1=[1],I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},
I2=[1001],I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},
I3=[100010001], , In=[100010001]I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \cdots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}
一些数学书籍使用UUEE(分别意为“单位矩阵”和“基本矩阵”),不过II更加普遍。

特别是单位矩阵作为所有nn阶矩阵的环的单位,以及作为由所有nn阶可逆矩阵构成的一般线性群GL(n)GL(n)的单位元(单位矩阵明显可逆,单位矩阵乘自己,仍是单位矩阵)。

这些nn阶矩阵经常表示来自nn向量空间自己的线性变换,InI_n表示恒等函数,而不理会基。

有时使用这个记法简洁的描述对角线矩阵,写作:

In=diag(1,1,,1){\displaystyle I_{n}=\operatorname {diag} (1,1,…,1)}
也可以克罗内克尔δ记法写作:

(In)ij=δij(I_{n})_{{ij}}=\delta _{{ij}}
单位矩阵的性质
根据矩阵乘法的定义,单位矩阵InI_n的重要性质为:

AIn=AAI_{n}=AInB=BI_{n}B=B
单位矩阵的特征值皆为1,任何向量都是单位矩阵的特征向量。具有重数nn。因为特征值之积等于行列式,所以单位矩阵的行列式为1。因为特征值之等于迹数,单位矩阵的迹为nn

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