单位矩阵

在线性代数中,n单位矩阵,是一个n\times n的方形矩阵,其主对角线元素为1,其余元素为0。单位矩阵以I_n表示;如果阶数可忽略,或可由前后文确定的话,也可简记为I(或者E)。
I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},
I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},
I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \cdots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}
一些数学书籍使用UE(分别意为“单位矩阵”和“基本矩阵”),不过I更加普遍。

特别是单位矩阵作为所有n阶矩阵的环的单位,以及作为由所有n阶可逆矩阵构成的一般线性群GL(n)的单位元(单位矩阵明显可逆,单位矩阵乘自己,仍是单位矩阵)。

这些n阶矩阵经常表示来自n向量空间自己的线性变换,I_n表示恒等函数,而不理会基。

有时使用这个记法简洁的描述对角线矩阵,写作:

{\displaystyle I_{n}=\operatorname {diag} (1,1,…,1)}
也可以克罗内克尔δ记法写作:

(I_{n})_{{ij}}=\delta _{{ij}}
单位矩阵的性质
根据矩阵乘法的定义,单位矩阵I_n的重要性质为:

AI_{n}=AI_{n}B=B
单位矩阵的特征值皆为1,任何向量都是单位矩阵的特征向量。具有重数n。因为特征值之积等于行列式,所以单位矩阵的行列式为1。因为特征值之等于迹数,单位矩阵的迹为n

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