在线性代数中,n阶单位矩阵,是一个n×n的方形矩阵,其主对角线元素为1,其余元素为0。单位矩阵以In表示;如果阶数可忽略,或可由前后文确定的话,也可简记为I(或者E)。
I1=[1],
I2=[1001],
I3=⎣⎡100010001⎦⎤, ⋯, In=⎣⎡10⋮001⋮0⋯⋯⋱⋯00⋮1⎦⎤
一些数学书籍使用U和E(分别意为“单位矩阵”和“基本矩阵”),不过I更加普遍。
特别是单位矩阵作为所有n阶矩阵的环的单位,以及作为由所有n阶可逆矩阵构成的一般线性群GL(n)的单位元(单位矩阵明显可逆,单位矩阵乘自己,仍是单位矩阵)。
这些n阶矩阵经常表示来自n维向量空间自己的线性变换,In表示恒等函数,而不理会基。
有时使用这个记法简洁的描述对角线矩阵,写作:
In=diag(1,1,…,1)
也可以克罗内克尔δ记法写作:
(In)ij=δij
单位矩阵的性质
根据矩阵乘法的定义,单位矩阵In的重要性质为:
AIn=A且InB=B
单位矩阵的特征值皆为1,任何向量都是单位矩阵的特征向量。具有重数n。因为特征值之积等于行列式,所以单位矩阵的行列式为1。因为特征值之等于迹数,单位矩阵的迹为n。