对称矩阵

在线性代数中,对称矩阵(英语:symmetric matrix)是一个方形矩阵,其转置矩阵和自身相等。

A = A^{\textrm{T}} ,
对称矩阵中的右上至左下方向元素以主对角线(左上至右下)为轴进行对称。若将其写作A = (a_{ij}),则对所有的i和j,

{\displaystyle a_{ij}=a_{ji}.}
下列是3×3的对称矩阵:

\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & -5\\ 3 & -5 & 6\end{bmatrix}
下列是斜对称矩阵(英语:skew-symmetric matrix,又称反对称矩阵,英语:antisymmetric matrix):

\begin{bmatrix} 0 & -3 & 4\\ 3 & 0 & -5\\ -4 & 5 & 0\end{bmatrix}

对称矩阵例子:
{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b&c\\b&d&e\\c&e&f\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1&5\\5&7\end{bmatrix}},}
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&0\\3&1&6\\0&6&1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}a&b\\b&c\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}2\end{bmatrix}}}

对阵矩阵的性质

  • 对于任何方形矩阵XX+X^T是对称矩阵。
  • A为方形矩阵是A为对称矩阵的必要条件,即对称矩阵行数必等于列数。
  • 对角矩阵都是对称矩阵。
  • 当且仅当两者的乘法可交换(即{AB=BA)时,两个对称矩阵的积(AB)是对称矩阵。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。
  • 任何方形矩阵X,如果它的元素属于一个特征不为2的域(例如实数),可以用刚好一种方法写成一个对称矩阵和一个斜对称矩阵之和:
    X = \frac{1}{2}(X+X^T)+\frac{1}{2}(X-X^T)
  • 每个实方形矩阵都可写作两个实对称矩阵的积,每个复方形矩阵都可写作两个复对称矩阵的积。
  • 若对称矩阵A的每个元素均为实数,A是实对称矩阵。
  • 一个矩阵同时为对称矩阵及斜对称矩阵当且仅当所有元素都是零。
  • 如果X是对称矩阵,那么AXA^\textrm{T} 也是对称矩阵.

对称矩阵的分解

利用若尔当标准形,我们可以证明每一个实方阵都可以写成两个实对称矩阵的乘积,而每一个复方阵都可以写成两个复对称矩阵的乘积。

每一个实非奇异矩阵都可以唯一分解成一个正交矩阵和一个对称正定矩阵的乘积,这称为极分解。奇异矩阵也可以分解,但不是唯一的。

Cholesky分解说明每一个实正定对称矩阵都是一个上三角矩阵和它的转置的乘积。

实对称矩阵

实对称矩阵是一个元素都为实数的对称矩阵,用<,>表示R^n上的内积。n\times n的实矩阵A是对称的,当且仅当对于所有{\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{n}}

\langle Ax,y \rangle = \langle x, Ay\rangle
实对称矩阵有以下的性质:

  • 实对称矩阵A的不同特征值所对应的特征向量是正交的。
  • 实对称矩阵A的特征值都是实数,特征向量都是实向量。
  • n阶实对称矩阵A必可对角化。
  • 可用正交矩阵对角化。
  • K重特征值必有K个线性无关的特征向量,或者说必有秩r(λE-A)=n-k。

黑塞矩阵

实对称n × n矩阵出现在二阶连续可微的n元函数的黑塞矩阵之中。

Rn上的每一个二次型q都可以唯一写成q(x) = x^TAx的形式,其中A是对称的n × n矩阵。于是,根据谱定理,可以说每一个二次型,不考虑Rn的正交基的选择,“看起来像”:

q(x_1,\ldots,x_n)=\sum_{i=1}^n \lambda_i x_i^2
其中λi是实数。这大大简化了二次型的研究,以及水平集{x : q(x) = 1}的研究,它们是圆锥曲线的推广。

这是很重要的,部分是由于每一个光滑的多元函数的二阶表现,都由属于该函数的黑塞矩阵的二次型描述;这是泰勒定理的一个结果。

可对称化矩阵

矩阵A称为可对称化的,如果存在一个可逆对角矩阵D和一个对称矩阵S,使得:

A = DS.
可对称化矩阵的转置也是可对称化的,因为{\displaystyle (DS)^{T}=SD=D^{-1}DSD},而{\displaystyle DSD}是对称的。

当且仅当A = [a_{jk}]满足以下的条件时,矩阵可对称化:

  • 如果a_{ij} = 0,那么a_{ji} = 0
  • 对于任何有限序列i_1, i_2, …, i_k,都有a_{i_1i_2} a_{i_2i_3}…a_{i_ki_1} = a_{i_2i_1} a_{i_3i_2}…a_{i_1i_k}

对称矩阵与不等式的关系

对称阵 Z 分解为3行3列:

\begin{bmatrix} Z_{11} & Z_{12} & Z_{13} \\ Z_{12}^T & Z_{22} & Z_{23} \\ Z_{13}^T & Z_{23}^T & Z_{33} \end{bmatrix}
当且仅当

\begin{bmatrix} Z_{11} & Z_{12} \\ Z_{12}^T & Z_{22} \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} Z_{11} & Z_{13} \\ Z_{13}^T & Z_{33} \end{bmatrix}
时, 存在 X = Z_{13}^T Z_{11}^{-1} Z_{12} – Z_{23}^T, 使得

\begin{bmatrix} Z_{11} & Z_{12} & Z_{13} \\ Z_{12}^T & Z_{22} & Z_{23}+X^T \\ Z_{13}^T & Z_{23}^T+X & Z_{33} \end{bmatrix} < 0
成立。

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