极客教程如何使用Matplotlib在Python中绘制复数
参考：How to plot a complex number in Python using Matplotlib
复数是数学和科学领域中的重要概念，它们在许多应用中都扮演着关键角色。在Python中，我们可以使用Matplotlib库来可视化复数，这不仅能帮助我们更好地理解复数的性质，还能在各种数据分析和科学计算任务中提供直观的洞察。本文将详细介绍如何使用Matplotlib在Python中绘制复数，包括基本概念、不同的绘图方法以及高级技巧。
1. 复数的基本概念
在深入探讨如何绘制复数之前，我们先简要回顾一下复数的基本概念。
复数是由实部和虚部组成的数，通常表示为 a + bi 的形式，其中：
– a 是实部
– b 是虚部
– i 是虚数单位，定义为 i² = -1
在Python中，我们可以使用内置的 complex 类型来表示复数。例如：
import matplotlib.pyplot as plt
# 创建一个复数
z = 3 + 4j
# 打印复数的实部和虚部
print(f"Real part: {z.real}")
print(f"Imaginary part: {z.imag}")
# 创建一个简单的图形来展示这个复数
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.scatter(z.real, z.imag, color='red', s=100)
plt.axhline(y=0, color='k', linestyle='--')
plt.axvline(x=0, color='k', linestyle='--')
plt.xlabel('Real Part')
plt.ylabel('Imaginary Part')
plt.title('Complex Number Visualization - how2matplotlib.com')
plt.grid(True)
plt.show()
Output:
在这个例子中，我们创建了一个复数 3+4i，并使用 Matplotlib 绘制了一个简单的散点图来表示这个复数在复平面上的位置。
2. 使用箭头绘制复数
一种更直观的表示复数的方法是使用箭头。箭头的起点位于原点(0,0)，终点位于复数所表示的点。这种表示方法能够清晰地展示复数的模和辐角。
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
z = 3 + 4j
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.quiver(0, 0, z.real, z.imag, angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='r')
plt.xlim(-5, 5)
plt.ylim(-5, 5)
plt.axhline(y=0, color='k', linestyle='--')
plt.axvline(x=0, color='k', linestyle='--')
plt.xlabel('Real Part')
plt.ylabel('Imaginary Part')
plt.title('Complex Number as Arrow - how2matplotlib.com')
plt.grid(True)
plt.show()
Output:
在这个例子中，我们使用 plt.quiver() 函数绘制了一个箭头来表示复数 3+4i。箭头的起点在原点(0,0)，终点在(3,4)。
3. 绘制多个复数
在实际应用中，我们经常需要同时绘制多个复数。Matplotlib 提供了灵活的方法来实现这一点。
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
complex_numbers = [1+2j, 2-1j, -3+4j, -2-2j]
plt.figure(figsize=(10, 8))
for z in complex_numbers:
plt.quiver(0, 0, z.real, z.imag, angles='xy', scale_units='xy', scale=1, label=f'{z}')
plt.xlim(-5, 5)
plt.ylim(-5, 5)
plt.axhline(y=0, color='k', linestyle='--')
plt.axvline(x=0, color='k', linestyle='--')
plt.xlabel('Real Part')
plt.ylabel('Imaginary Part')
plt.title('Multiple Complex Numbers - how2matplotlib.com')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()
Output:
这个例子展示了如何在同一个图中绘制多个复数。我们使用循环遍历复数列表，为每个复数绘制一个箭头，并添加相应的图例。
4. 绘制复数的轨迹
有时我们需要绘制复数随时间变化的轨迹。这在研究动态系统或信号处理时特别有用。
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
t = np.linspace(0, 2*np.pi, 100)
z = np.exp(1j * t)
plt.figure(figsize=(10, 8))
plt.plot(z.real, z.imag)
plt.scatter(z.real[0], z.imag[0], color='r', s=100, label='Start')
plt.scatter(z.real[-1], z.imag[-1], color='g', s=100, label='End')
plt.axhline(y=0, color='k', linestyle='--')
plt.axvline(x=0, color='k', linestyle='--')
plt.xlabel('Real Part')
plt.ylabel('Imaginary Part')
plt.title('Complex Number Trajectory - how2matplotlib.com')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.axis('equal')
plt.show()
Output:
这个例子绘制了复数 e^(it) 随 t 从 0 到 2π 变化时的轨迹。结果是一个单位圆，这展示了欧拉公式的几何意义。
5. 使用颜色编码表示复数的幅值
在处理复杂的复数函数时，我们可能需要同时表示复数的实部、虚部和幅值。一种有效的方法是使用颜色来编码复数的幅值。
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
x = np.linspace(-2, 2, 200)
y = np.linspace(-2, 2, 200)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
Z = X + Y*1j
plt.figure(figsize=(10, 8))
plt.pcolormesh(X, Y, np.abs(Z), shading='auto', cmap='viridis')
plt.colorbar(label='Magnitude')
plt.xlabel('Real Part')
plt.ylabel('Imaginary Part')
plt.title('Complex Plane with Magnitude Coloring - how2matplotlib.com')
plt.axis('equal')
plt.show()
Output:
这个例子创建了一个复平面，其中每个点都表示一个复数。颜色表示复数的幅值（绝对值）。这种可视化方法可以帮助我们理解复数函数在整个复平面上的行为。
6. 绘制复数函数
复数函数是复变函数分析中的重要概念。我们可以使用Matplotlib来可视化这些函数，以便更好地理解它们的性质。
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
def complex_function(z):
return z**2 + 1
x = np.linspace(-2, 2, 200)
y = np.linspace(-2, 2, 200)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
Z = X + Y*1j
W = complex_function(Z)
plt.figure(figsize=(12, 5))
plt.subplot(121)
plt.pcolormesh(X, Y, np.abs(Z), shading='auto', cmap='viridis')
plt.colorbar(label='Magnitude')
plt.xlabel('Real Part')
plt.ylabel('Imaginary Part')
plt.title('Input: z - how2matplotlib.com')
plt.subplot(122)
plt.pcolormesh(X, Y, np.abs(W), shading='auto', cmap='viridis')
plt.colorbar(label='Magnitude')
plt.xlabel('Real Part')
plt.ylabel('Imaginary Part')
plt.title('Output: f(z) = z^2 + 1 - how2matplotlib.com')
plt.tight_layout()
plt.show()
Output:
这个例子展示了如何可视化复数函数 f(z) = z^2 + 1。左图显示了输入复平面，右图显示了函数作用后的结果。通过比较这两个图，我们可以直观地理解函数是如何变换复平面的。
7. 绘制复数的极坐标表示
复数除了可以用直角坐标表示，还可以用极坐标表示。极坐标形式可以更直观地展示复数的模和辐角。
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
z = 3 + 4j
r = np.abs(z)
theta = np.angle(z)
plt.figure(figsize=(10, 8))
ax = plt.subplot(111, projection='polar')
ax.plot([0, theta], [0, r], 'r-')
ax.scatter(theta, r, s=100, c='r')
ax.set_rmax(6)
ax.set_rticks([1, 2, 3, 4, 5])
ax.set_rlabel_position(-22.5)
ax.grid(True)
ax.set_title("Complex Number in Polar Coordinates - how2matplotlib.com")
plt.show()
Output:
这个例子展示了如何在极坐标系中绘制复数。我们使用 np.abs() 计算复数的模，使用 np.angle() 计算复数的辐角。然后，我们使用极坐标投影创建一个子图，并绘制从原点到复数点的线段。
8. 绘制复数的三维表示
虽然复数是二维的，但有时我们可能想要在三维空间中可视化它们，特别是当我们处理复数函数时。
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
def complex_function(z):
return np.sin(z)
x = np.linspace(-5, 5, 100)
y = np.linspace(-5, 5, 100)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
Z = X + Y*1j
W = complex_function(Z)
fig = plt.figure(figsize=(12, 8))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
surf = ax.plot_surface(X, Y, np.abs(W), cmap='viridis')
fig.colorbar(surf, shrink=0.5, aspect=5, label='Magnitude')
ax.set_xlabel('Real Part')
ax.set_ylabel('Imaginary Part')
ax.set_zlabel('|f(z)|')
ax.set_title('3D Visualization of Complex Function - how2matplotlib.com')
plt.show()
Output:
这个例子展示了如何在三维空间中可视化复数函数 f(z) = sin(z)。x 和 y 轴表示复平面，z 轴表示函数值的绝对值。颜色也用来编码函数值的绝对值，提供了额外的视觉信息。
9. 绘制复数的相位图
复数的相位（或辐角）是另一个重要的属性，我们可以使用颜色来可视化它。
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
x = np.linspace(-5, 5, 200)
y = np.linspace(-5, 5, 200)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
Z = X + Y*1j
plt.figure(figsize=(10, 8))
plt.pcolormesh(X, Y, np.angle(Z), shading='auto', cmap='hsv')
plt.colorbar(label='Phase (radians)')
plt.xlabel('Real Part')
plt.ylabel('Imaginary Part')
plt.title('Complex Plane Phase Plot - how2matplotlib.com')
plt.axis('equal')
plt.show()
Output:
这个例子创建了一个复平面的相位图。颜色表示每个点（复数）的相位。这种可视化方法可以帮助我们理解复数函数如何影响相位。
10. 绘制复数的Riemann球面表示
Riemann球面是表示扩展复平面的一种方法，它将无穷远点映射到球面的北极。这种表示方法在复分析中非常有用。
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
def stereographic_projection(z):
x = z.real
y = z.imag
return 2*x/(1+x**2+y**2), 2*y/(1+x**2+y**2), (x**2+y**2-1)/(1+x**2+y**2)
t = np.linspace(0, 2*np.pi, 100)
z = np.exp(1j * t)
X, Y, Z = stereographic_projection(z)
fig = plt.figure(figsize=(10, 8))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax.plot(X, Y, Z)
ax.set_xlim(-1, 1)
ax.set_ylim(-1, 1)
ax.set_zlim(-1, 1)
ax.set_xlabel('X')
ax.set_ylabel('Y')
ax.set_zlabel('Z')
ax.set_title('Riemann Sphere Representation - how2matplotlib.com')
# 绘制单位球面
u = np.linspace(0, 2 * np.pi, 100)
v = np.linspace(0, np.pi, 100)
x = np.outer(np.cos(u), np.sin(v))
y = np.outer(np.sin(u), np.sin(v))
z = np.outer(np.ones(np.size(u)), np.cos(v))
ax.plot_surface(x, y, z, alpha=0.1)
plt.show()
Output:
这个例子展示了如何使用Riemann球面来表示复数。我们首先定义了一个立体投影函数，将复平面上的点映射到球面上。然后，我们绘制了单位圆在Riemann球面上的投影，并添加了一个半透明的球面来表示整个Riemann球。这种表示方法可以帮助我们理解复数在无穷远处的行为。
11. 绘制复数的等值线图
等值线图是另一种有用的复数可视化方法，特别是在研究复数函数时。它可以帮助我们理解函数在哪些区域保持恒定的实部或虚部。
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
def complex_function(z):
return np.exp(z)
x = np.linspace(-2, 2, 200)
y = np.linspace(-2, 2, 200)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
Z = X + Y*1j
W = complex_function(Z)
plt.figure(figsize=(12, 5))
plt.subplot(121)
cs = plt.contour(X, Y, W.real, levels=20)
plt.colorbar(cs, label='Real Part')
plt.xlabel('Real Part of z')
plt.ylabel('Imaginary Part of z')
plt.title('Contour Plot of Real Part - how2matplotlib.com')
plt.subplot(122)
cs = plt.contour(X, Y, W.imag, levels=20)
plt.colorbar(cs, label='Imaginary Part')
plt.xlabel('Real Part of z')
plt.ylabel('Imaginary Part of z')
plt.title('Contour Plot of Imaginary Part - how2matplotlib.com')
plt.tight_layout()
plt.show()
Output:
这个例子展示了如何为复数函数 f(z) = e^z 创建等值线图。左图显示了实部的等值线，右图显示了虚部的等值线。这种可视化方法可以帮助我们理解函数在不同区域的行为。
12. 绘制复数的向量场
复数函数也可以被视为向量场，其中每个点都有一个方向和大小。这种表示方法在研究复数函数的局部行为时特别有用。
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
def complex_function(z):
return z**2
x = np.linspace(-2, 2, 20)
y = np.linspace(-2, 2, 20)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
Z = X + Y*1j
W = complex_function(Z)
plt.figure(figsize=(10, 8))
plt.quiver(X, Y, W.real, W.imag, np.abs(W), cmap='viridis', pivot='mid')
plt.colorbar(label='Magnitude')
plt.xlabel('Real Part')
plt.ylabel('Imaginary Part')
plt.title('Vector Field of Complex Function - how2matplotlib.com')
plt.axis('equal')
plt.show()
Output:
这个例子展示了如何将复数函数 f(z) = z^2 表示为向量场。箭头的方向表示函数值的方向，箭头的颜色表示函数值的大小。这种可视化方法可以帮助我们理解函数在每个点的局部行为。
13. 绘制复数的动画
动画可以帮助我们理解复数随时间变化的行为。以下是一个简单的例子，展示了一个复数在单位圆上旋转的过程。
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from matplotlib.animation import FuncAnimation
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 8))
ax.set_xlim(-1.5, 1.5)
ax.set_ylim(-1.5, 1.5)
ax.set_aspect('equal')
ax.grid(True)
line, = ax.plot([], [], 'ro-', lw=2)
ax.set_title('Rotating Complex Number - how2matplotlib.com')
def init():
line.set_data([], [])
return line,
def animate(i):
t = i * 0.1
z = np.exp(1j * t)
x = [0, z.real]
y = [0, z.imag]
line.set_data(x, y)
return line,
anim = FuncAnimation(fig, animate, init_func=init, frames=63, interval=50, blit=True)
plt.show()
Output:
这个例子创建了一个动画，展示了复数 e^(it) 随时间变化的轨迹。动画显示了一个在单位圆上旋转的向量，直观地展示了复数的周期性。
14. 绘制复数的密度图
密度图是另一种有效的复数可视化方法，特别是当我们需要同时表示大量复数时。
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
np.random.seed(42)
z = np.random.normal(0, 1, 10000) + 1j * np.random.normal(0, 1, 10000)
plt.figure(figsize=(10, 8))
plt.hist2d(z.real, z.imag, bins=50, cmap='viridis')
plt.colorbar(label='Count')
plt.xlabel('Real Part')
plt.ylabel('Imaginary Part')
plt.title('Density Plot of Complex Numbers - how2matplotlib.com')
plt.axis('equal')
plt.show()
Output:
这个例子生成了10000个复数，其实部和虚部都服从标准正态分布。然后，我们使用二维直方图（密度图）来可视化这些复数的分布。颜色表示每个区域内复数的数量。
15. 绘制复数的极坐标热图
极坐标热图可以同时展示复数的模和辐角，这在某些应用中非常有用。
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
r = np.linspace(0, 5, 100)
theta = np.linspace(0, 2*np.pi, 100)
R, Theta = np.meshgrid(r, theta)
Z = R * np.exp(1j * Theta)
fig, ax = plt.subplots(subplot_kw=dict(projection='polar'), figsize=(10, 8))
c = ax.pcolormesh(Theta, R, np.abs(Z), cmap='viridis')
plt.colorbar(c, label='Magnitude')
ax.set_title('Polar Heatmap of Complex Numbers - how2matplotlib.com')
plt.show()
Output:
这个例子创建了一个极坐标系下的热图，展示了复数的模随半径和角度的变化。颜色表示复数的绝对值（模）。这种可视化方法特别适合研究具有周期性或对称性的复数函数。
16. 绘制复数的Argand图
Argand图是复数的经典表示方法，它在直角坐标系中同时显示复数的实部和虚部。
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
z1 = 3 + 4j
z2 = 1 - 2j
z3 = -2 + 1j
plt.figure(figsize=(10, 8))
plt.scatter([z1.real, z2.real, z3.real], [z1.imag, z2.imag, z3.imag], s=100)
for z in [z1, z2, z3]:
plt.annotate(f'{z}', (z.real, z.imag), xytext=(5, 5), textcoords='offset points')
plt.axhline(y=0, color='k', linestyle='--')
plt.axvline(x=0, color='k', linestyle='--')
plt.xlabel('Real Part')
plt.ylabel('Imaginary Part')
plt.title('Argand Diagram - how2matplotlib.com')
plt.grid(True)
plt.axis('equal')
plt.show()
Output:
这个例子展示了如何创建Argand图。我们绘制了三个复数点，并为每个点添加了标签。虚轴和实轴分别用虚线表示。
17. 绘制复数的对数映射
对数映射是复变函数理论中的一个重要概念。我们可以使用Matplotlib来可视化这种映射。
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
def complex_log(z):
return np.log(np.abs(z)) + 1j * np.angle(z)
x = np.linspace(-5, 5, 200)
y = np.linspace(-5, 5, 200)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
Z = X + Y*1j
W = complex_log(Z)
plt.figure(figsize=(12, 5))
plt.subplot(121)
plt.pcolormesh(X, Y, np.abs(Z), shading='auto', cmap='viridis')
plt.colorbar(label='Magnitude')
plt.xlabel('Real Part')
plt.ylabel('Imaginary Part')
plt.title('Input: z - how2matplotlib.com')
plt.subplot(122)
plt.pcolormesh(X, Y, np.abs(W), shading='auto', cmap='viridis')
plt.colorbar(label='Magnitude')
plt.xlabel('Real Part')
plt.ylabel('Imaginary Part')
plt.title('Output: log(z) - how2matplotlib.com')
plt.tight_layout()
plt.show()
Output:
这个例子展示了复数的对数映射。左图显示了输入复平面，右图显示了对数映射后的结果。通过比较这两个图，我们可以直观地理解对数如何变换复平面。
18. 绘制复数的幂函数映射
幂函数是另一类重要的复数函数。我们可以使用Matplotlib来可视化不同幂次对复平面的影响。
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
def complex_power(z, n):
return z**n
x = np.linspace(-2, 2, 200)
y = np.linspace(-2, 2, 200)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
Z = X + Y*1j
powers = [1, 2, 3, 4]
fig, axs = plt.subplots(2, 2, figsize=(15, 15))
axs = axs.ravel()
for i, n in enumerate(powers):
W = complex_power(Z, n)
im = axs[i].pcolormesh(X, Y, np.abs(W), shading='auto', cmap='viridis')
axs[i].set_title(f'z^{n} - how2matplotlib.com')
axs[i].set_xlabel('Real Part')
axs[i].set_ylabel('Imaginary Part')
plt.colorbar(im, ax=axs[i], label='Magnitude')
plt.tight_layout()
plt.show()
Output:
这个例子展示了复数的不同幂次映射。我们创建了一个2×2的子图网格，每个子图显示了不同幂次（1、2、3、4）的映射结果。通过比较这些图，我们可以看到幂次如何影响复平面的变换。
结论
通过本文的详细介绍和丰富的示例，我们深入探讨了如何使用Matplotlib在Python中绘制复数。从基本的散点图和箭头图，到高级的3D可视化和动画，我们展示了多种方法来可视化复数及其函数。这些技术不仅可以帮助我们更好地理解复数的性质，还可以在数据分析、信号处理、电气工程等多个领域中发挥重要作用。
复数的可视化是一个丰富而有趣的主题，本文所介绍的方法只是冰山一角。随着你对Matplotlib和复数理论的深入理解，你可以创造出更多独特和有洞察力的可视化方法。希望这篇文章能够激发你的创造力，帮助你在自己的项目中更好地运用复数可视化技术。