线性无关

在线性代数里，向量空间的一组元素中，若没有向量可用有限个其他向量的线性组合所表示，则称为线性无关或线性独立（linearly independent），反之称为线性相关（linearly dependent）。例如在三维欧几里得空间$$R^3$$的三个向量(1, 0, 0)，(0, 1, 0)和(0, 0, 1)线性无关。但(2, −1, 1)，(1, 0, 1)和(3, −1, 2)线性相关，因为第三个是前两个的和。

定义

假设V是在域K上的向量空间。如果$$v_1, v_2, …, v_n$$ 是V的向量，称它们为线性相关，如果从域K 中有非全零的元素$$a_1, a_2, …, a_n$$，使得

$$a_1v_1+a_2v_2+…+a_nv_n = 0$$
或更简略地表示成，

$$\sum_{i=1}^n{a_iv_i} = 0$$
（注意右边的零是V的零向量，不是K的零元。）

如果K中不存在这样的元素，那么$$v_1, v_2, …, v_n$$是线性无关。

对线性无关可以给出更直接的定义。向量$$v_1,v_2, …, v_n$$无关，当且仅当它们满足以下条件：如果$$a_1, a_2, …, a_n$$是K的元素，适合：

$$a_1v_1 + a_2v_2 + … + a_nv_n = 0$$，
那么对所有i = 1, 2, …, n都有$$a_i$$= 0。

在V中的一个无限集，如果它任何一个有限子集都是线性无关，那么原来的无限集也是线性无关。

线性相关性是线性代数的重要概念，因为线性无关的一组向量可以生成一个向量空间，而这组向量则是这向量空间的基。

相关性

• 含有零向量的向量组，必定线性相关。
  若有向量组$$a_1, a_2, … , a_s$$，其中$$a_1=0$$，则$$a_{1}=0\cdot a_{2}+…+0\cdot a_{s}$$。
• 含有两个相等向量的向量组，必定线性相关。
  若有向量组$$a_1, a_2, … , a_s$$，其中$$a_1=a_2$$，则$$a_{1}=1\cdot a_{2}+0\cdot a_{3}+…+0\cdot a_{s}$$。
• 若一向量组相关，则加上任意个向量后，仍然线性相关；即局部线性相关，整体必线性相关。
• 整体线性无关，局部必线性无关。
• 向量个数大于向量维数，则此向量组线性相关。
• 若一向量组线性无关，即使每一向量都在同一位置处增加一分量，仍然线性无关。
• 若一向量组线性相关，即使每一向量都在同一位置处减去一分量，仍然线性相关。
• 若$$a_{1},a_{2},…,a_{s}$$线性无关，而$$b,a_{1},a_{2},…,a_{s}$$线性相关，则b必可由 $$a_{1},a_{2},…,a_{s}$$线性表示，且表示系数唯一。
• 有向量组$$\textrm{I}({a_1, a_2, …, a_s})$$和$$\textrm{II}({b_1, b_2, …, b_t})$$，其中t>s，且 $${\textrm {II}}$$ 中每个向量都可由 $${\textrm {I}}$$ 线性表示，则向量组$${\textrm {II}}$$必线性相关。即向量个数多的向量组，若可被向量个数少的向量组线性表示，则向量个数多的向量组必线性相关。
• 若一向量组$$b_{1},b_{2},…,b_{t}$$可由向量组$$a_1, a_2, …, a_s$$线性表示，且$$b_1, b_2, …, b_t$$线性无关，则$$t \le s$$。即线性无关的向量组，无法以向量个数较少的向量组线性表示。

例子1

设$$V = R^n$$，考虑V内的以下元素：
$$\begin{matrix} \mathbf{e}_1&=&(1,0,0,\ldots,0) \\ \mathbf{e}_2&=&(0,1,0,\ldots,0) \\ & \vdots \\ \mathbf{e}_n&=&(0,0,0,\ldots,1).\end{matrix}$$
则$$e_1、e_2、……、e_n$$是线性无关的。

证明
假设$$a_1、a_2、……、a_n$$是R中的元素，使得：

$$a_1 \mathbf{e}_1 + a_2 \mathbf{e}_2 + \cdots + a_n \mathbf{e}_n = 0 .$$
由于

$$a_1 \mathbf{e}_1 + a_2 \mathbf{e}_2 + \cdots + a_n \mathbf{e}_n = (a_1 ,a_2 ,\ldots, a_n)$$
因此对于{1, …, n}内的所有i，都有$$a_i$$ = 0。

例子2

设V是实变量t的所有函数的向量空间。则V内的函数et和e2t是线性无关的。

证明
假设a和b是两个实数，使得对于所有的t，都有：

$$a e^{t} + b e^{2t} = 0$$
我们需要证明a = 0且b = 0。我们把等式两边除以$$e^t$$（它不能是零），得：

$$be^{t} = −a$$
也就是说，函数$$be^t$$与t一定是独立的，这只能在b = 0时出现。可推出a也一定是零。

例子3

R4内的以下向量是线性相关的。

$$\begin{bmatrix} 1\\ 4\\ 2\\ -3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 7\\ 10\\ -4\\ -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -2\\ 1\\ 5\\ -4 \end{bmatrix}$$
证明
我们需要求出标量$$\lambda_1、 \lambda_2和\lambda_3$$，使得：

$$\lambda_1 \begin{bmatrix} 1\\ 4\\ 2\\ -3 \end{bmatrix}+ \lambda_2\begin{bmatrix} 7\\ 10\\ -4\\ -1 \end{bmatrix}+ \lambda_3\begin{bmatrix} -2\\ 1\\ 5\\ -4 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}.$$
可以形成以下的方程组：

ParseError: KaTeX parse error: Unexpected character: '\' at position 172: … 4\lambda_3 = 0\̲
解这个方程组（例如使用高斯消元法），可得：

$$\lambda_1 = \lambda_1 \\ \lambda_2 = (-\lambda_1)/3 \\ \lambda_3 = (-2\lambda_1)/3. \\$$
由于它们都是非平凡解，因此这些向量是线性相关的。