极客教程在线性代数里，向量空间的一组元素中，若没有向量可用有限个其他向量的线性组合所表示，则称为线性无关或线性独立（linearly independent），反之称为线性相关（linearly dependent）。例如在三维欧几里得空间ReferenceError: katex is not defined的三个向量(1, 0, 0)，(0, 1, 0)和(0, 0, 1)线性无关。但(2, −1, 1)，(1, 0, 1)和(3, −1, 2)线性相关，因为第三个是前两个的和。
定义
假设V是在域K上的向量空间。如果ReferenceError: katex is not defined 是V的向量，称它们为线性相关，如果从域K 中有非全零的元素ReferenceError: katex is not defined，使得
ReferenceError: katex is not defined
或更简略地表示成，
ReferenceError: katex is not defined
（注意右边的零是V的零向量，不是K的零元。）
如果K中不存在这样的元素，那么ReferenceError: katex is not defined是线性无关。
对线性无关可以给出更直接的定义。向量ReferenceError: katex is not defined无关，当且仅当它们满足以下条件：如果ReferenceError: katex is not defined是K的元素，适合：
ReferenceError: katex is not defined，
那么对所有i = 1, 2, …, n都有ReferenceError: katex is not defined= 0。
在V中的一个无限集，如果它任何一个有限子集都是线性无关，那么原来的无限集也是线性无关。
线性相关性是线性代数的重要概念，因为线性无关的一组向量可以生成一个向量空间，而这组向量则是这向量空间的基。
相关性
- 含有零向量的向量组，必定线性相关。
若有向量组ReferenceError: katex is not defined，其中ReferenceError: katex is not defined，则ReferenceError: katex is not defined。 - 含有两个相等向量的向量组，必定线性相关。
若有向量组ReferenceError: katex is not defined，其中ReferenceError: katex is not defined，则ReferenceError: katex is not defined。 - 若一向量组相关，则加上任意个向量后，仍然线性相关；即局部线性相关，整体必线性相关。
- 整体线性无关，局部必线性无关。
- 向量个数大于向量维数，则此向量组线性相关。
- 若一向量组线性无关，即使每一向量都在同一位置处增加一分量，仍然线性无关。
- 若一向量组线性相关，即使每一向量都在同一位置处减去一分量，仍然线性相关。
- 若ReferenceError: katex is not defined线性无关，而ReferenceError: katex is not defined线性相关，则b必可由 ReferenceError: katex is not defined线性表示，且表示系数唯一。
- 有向量组ReferenceError: katex is not defined和ReferenceError: katex is not defined，其中t>s，且 ReferenceError: katex is not defined 中每个向量都可由 ReferenceError: katex is not defined 线性表示，则向量组ReferenceError: katex is not defined必线性相关。即向量个数多的向量组，若可被向量个数少的向量组线性表示，则向量个数多的向量组必线性相关。
- 若一向量组ReferenceError: katex is not defined可由向量组ReferenceError: katex is not defined线性表示，且ReferenceError: katex is not defined线性无关，则ReferenceError: katex is not defined。即线性无关的向量组，无法以向量个数较少的向量组线性表示。
例子1
设ReferenceError: katex is not defined，考虑V内的以下元素：
ReferenceError: katex is not defined
则ReferenceError: katex is not defined是线性无关的。
证明
假设ReferenceError: katex is not defined是R中的元素，使得：
ReferenceError: katex is not defined
由于
ReferenceError: katex is not defined
因此对于{1, …, n}内的所有i，都有ReferenceError: katex is not defined = 0。
例子2
设V是实变量t的所有函数的向量空间。则V内的函数et和e2t是线性无关的。
证明
假设a和b是两个实数，使得对于所有的t，都有：
ReferenceError: katex is not defined
我们需要证明a = 0且b = 0。我们把等式两边除以ReferenceError: katex is not defined（它不能是零），得：
ReferenceError: katex is not defined
也就是说，函数ReferenceError: katex is not defined与t一定是独立的，这只能在b = 0时出现。可推出a也一定是零。
例子3
R4内的以下向量是线性相关的。
ReferenceError: katex is not defined
证明
我们需要求出标量ReferenceError: katex is not defined，使得：
ReferenceError: katex is not defined
可以形成以下的方程组：
ReferenceError: katex is not defined
解这个方程组（例如使用高斯消元法），可得：
ReferenceError: katex is not defined
由于它们都是非平凡解，因此这些向量是线性相关的。