极客教程在线性代数里，向量空间的一组元素中，若没有向量可用有限个其他向量的线性组合所表示，则称为线性无关或线性独立（linearly independent），反之称为线性相关（linearly dependent）。例如在三维欧几里得空间R^3的三个向量(1, 0, 0)，(0, 1, 0)和(0, 0, 1)线性无关。但(2, −1, 1)，(1, 0, 1)和(3, −1, 2)线性相关，因为第三个是前两个的和。
定义
假设V是在域K上的向量空间。如果v_1, v_2, …, v_n 是V的向量，称它们为线性相关，如果从域K 中有非全零的元素a_1, a_2, …, a_n，使得
a_1v_1+a_2v_2+…+a_nv_n = 0
或更简略地表示成，
\sum_{i=1}^n{a_iv_i} = 0
（注意右边的零是V的零向量，不是K的零元。）
如果K中不存在这样的元素，那么v_1, v_2, …, v_n是线性无关。
对线性无关可以给出更直接的定义。向量v_1,v_2, …, v_n无关，当且仅当它们满足以下条件：如果a_1, a_2, …, a_n是K的元素，适合：
a_1v_1 + a_2v_2 + … + a_nv_n = 0，
那么对所有i = 1, 2, …, n都有a_i= 0。
在V中的一个无限集，如果它任何一个有限子集都是线性无关，那么原来的无限集也是线性无关。
线性相关性是线性代数的重要概念，因为线性无关的一组向量可以生成一个向量空间，而这组向量则是这向量空间的基。
相关性
- 含有零向量的向量组，必定线性相关。
若有向量组a_1, a_2, … , a_s，其中a_1=0，则a_{1}=0\cdot a_{2}+…+0\cdot a_{s}。 - 含有两个相等向量的向量组，必定线性相关。
若有向量组a_1, a_2, … , a_s，其中a_1=a_2，则a_{1}=1\cdot a_{2}+0\cdot a_{3}+…+0\cdot a_{s}。 - 若一向量组相关，则加上任意个向量后，仍然线性相关；即局部线性相关，整体必线性相关。
- 整体线性无关，局部必线性无关。
- 向量个数大于向量维数，则此向量组线性相关。
- 若一向量组线性无关，即使每一向量都在同一位置处增加一分量，仍然线性无关。
- 若一向量组线性相关，即使每一向量都在同一位置处减去一分量，仍然线性相关。
- 若a_{1},a_{2},…,a_{s}线性无关，而b,a_{1},a_{2},…,a_{s}线性相关，则b必可由 a_{1},a_{2},…,a_{s}线性表示，且表示系数唯一。
- 有向量组\textrm{I}({a_1, a_2, …, a_s})和\textrm{II}({b_1, b_2, …, b_t})，其中t>s，且 {\textrm {II}} 中每个向量都可由 {\textrm {I}} 线性表示，则向量组{\textrm {II}}必线性相关。即向量个数多的向量组，若可被向量个数少的向量组线性表示，则向量个数多的向量组必线性相关。
- 若一向量组b_{1},b_{2},…,b_{t}可由向量组a_1, a_2, …, a_s线性表示，且b_1, b_2, …, b_t线性无关，则t \le s。即线性无关的向量组，无法以向量个数较少的向量组线性表示。
例子1
设V = R^n，考虑V内的以下元素：
\begin{matrix}
\mathbf{e}_1&=&(1,0,0,\ldots,0) \\
\mathbf{e}_2&=&(0,1,0,\ldots,0) \\
& \vdots \\
\mathbf{e}_n&=&(0,0,0,\ldots,1).\end{matrix}
则e_1、e_2、……、e_n是线性无关的。
证明
假设a_1、a_2、……、a_n是R中的元素，使得：
a_1 \mathbf{e}_1 + a_2 \mathbf{e}_2 + \cdots + a_n \mathbf{e}_n = 0 .
由于
a_1 \mathbf{e}_1 + a_2 \mathbf{e}_2 + \cdots + a_n \mathbf{e}_n = (a_1 ,a_2 ,\ldots, a_n)
因此对于{1, …, n}内的所有i，都有a_i = 0。
例子2
设V是实变量t的所有函数的向量空间。则V内的函数et和e2t是线性无关的。
证明
假设a和b是两个实数，使得对于所有的t，都有：
a e^{t} + b e^{2t} = 0
我们需要证明a = 0且b = 0。我们把等式两边除以e^t（它不能是零），得：
be^{t} = −a
也就是说，函数be^t与t一定是独立的，这只能在b = 0时出现。可推出a也一定是零。
例子3
R4内的以下向量是线性相关的。
\begin{bmatrix}
1\\
4\\
2\\
-3
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
7\\
10\\
-4\\
-1
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
-2\\
1\\
5\\
-4
\end{bmatrix}
证明
我们需要求出标量\lambda_1、 \lambda_2和\lambda_3，使得：
\lambda_1
\begin{bmatrix}
1\\
4\\
2\\
-3
\end{bmatrix}+
\lambda_2\begin{bmatrix}
7\\
10\\
-4\\
-1
\end{bmatrix}+
\lambda_3\begin{bmatrix}
-2\\
1\\
5\\
-4
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
0\\
0\\
0\\
0
\end{bmatrix}.
可以形成以下的方程组：
\lambda_1 + 7\lambda_2 – 2\lambda_3 = 0\\
4\lambda_1 + 10\lambda_2 + \lambda_3 = 0\\
2\lambda_1- 4\lambda_2+ 5\lambda_3 = 0\\
-3\lambda_1- \lambda_2- 4\lambda_3 = 0\
解这个方程组（例如使用高斯消元法），可得：
\lambda_1 = \lambda_1 \\
\lambda_2 = (-\lambda_1)/3 \\
\lambda_3 = (-2\lambda_1)/3. \\
由于它们都是非平凡解，因此这些向量是线性相关的。