矩阵的逆

矩阵的逆是什么

逆矩阵(inverse matrix),又称反矩阵。在线性代数中,给定一个n 阶方阵\mathbf{A},若存在一n 阶方阵\mathbf {B} ,使得\mathbf{AB}=\mathbf{BA}=\mathbf{I}_n ,其中\mathbf{I}_n为n 阶单位矩阵,则称\mathbf{A} 是可逆的,且\mathbf {B}\mathbf{A}的逆矩阵,记作\mathbf {A} ^{-1}

只有方阵(n×n 的矩阵)才可能有逆矩阵。若方阵\mathbf{A}的逆矩阵存在,则称\mathbf{A}为非奇异方阵或可逆方阵。

与行列式类似,逆矩阵一般用于求解联立方程组。

矩阵的逆怎么求

矩阵的逆矩阵怎么求,我们来看下如何计算逆矩阵,有两种方法:

伴随矩阵法

如果矩阵A可逆,则A^{-1}=\frac{A^*}{|A|}其中{\displaystyle A^{*}=adj(A)}A的伴随矩阵。

注意:A^*中元素的排列特点是A^*的第k列元素是A的第k行元素的代数余子式。要求得A^*即为求解A的余因子矩阵的转置矩阵。

初等变换法

如果矩阵AB互逆,则AB=BA=I。由条件AB=BA以及矩阵乘法的定义可知,矩阵AB都是方阵。再由条件AB=I以及定理“两个矩阵的乘积的行列式等于这两个矩阵的行列式的乘积”可知,这两个矩阵的行列式都不为0。也就是说,这两个矩阵的秩等于它们的级数(或称为阶,也就是说,A与B都是n\times n方阵,且rank(A) = rank(B) = n.换而言之, {\textstyle A}{\textstyle B}均为满秩矩阵)。换句话说,这两个矩阵可以只经由初等行变换,或者只经由初等列变换,变为单位矩阵。

因为对矩阵A施以初等行变换(初等列变换)就相当于在A的左边(右边)乘以相应的初等矩阵,所以我们可以同时对AI施以相同的初等行变换(初等列变换)。这样,当矩阵A被变为I时,I就被变为A的逆阵B

矩阵的逆的性质

  • \left (A^{-1} \right )^{-1}=A
  • (\lambda A)^{-1}=\frac{1}{\lambda}\times A^{-1}
  • (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}
  • \left (A^\mathrm{T} \right )^{-1}=\left (A^{-1} \right )^{\mathrm{T}}A^{\mathrm{T}}为A的转置)
  • \det(A^{-1})=\frac{1}{\det(A)}(det为行列式)

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