矩阵的逆

矩阵的逆是什么

逆矩阵（inverse matrix），又称反矩阵。在线性代数中，给定一个n 阶方阵$$\mathbf{A}$$，若存在一n 阶方阵$$\mathbf {B}$$ ，使得$$\mathbf{AB}=\mathbf{BA}=\mathbf{I}_n$$，其中$$\mathbf{I}_n$$为n 阶单位矩阵，则称$$\mathbf{A}$$ 是可逆的，且$$\mathbf {B}$$ 是$$\mathbf{A}$$的逆矩阵，记作$$\mathbf {A} ^{-1}$$。

只有方阵（n×n 的矩阵）才可能有逆矩阵。若方阵$$\mathbf{A}$$的逆矩阵存在，则称$$\mathbf{A}$$为非奇异方阵或可逆方阵。

与行列式类似，逆矩阵一般用于求解联立方程组。

矩阵的逆怎么求

矩阵的逆矩阵怎么求,我们来看下如何计算逆矩阵，有两种方法:

伴随矩阵法

如果矩阵$$A$$可逆，则$$A^{-1}=\frac{A^*}{|A|}$$其中$${\displaystyle A^{*}=adj(A)}$$是$$A$$的伴随矩阵。

注意：$$A^*$$中元素的排列特点是$$A^*$$的第$$k$$列元素是$$A$$的第$$k$$行元素的代数余子式。要求得$$A^*$$即为求解$$A$$的余因子矩阵的转置矩阵。

初等变换法

如果矩阵$$A$$和$$B$$互逆，则$$AB=BA=I$$。由条件$$AB=BA$$以及矩阵乘法的定义可知，矩阵$$A$$和$$B$$都是方阵。再由条件$$AB=I$$以及定理“两个矩阵的乘积的行列式等于这两个矩阵的行列式的乘积”可知，这两个矩阵的行列式都不为0。也就是说，这两个矩阵的秩等于它们的级数（或称为阶，也就是说，A与B都是$$n\times n$$方阵，且$$rank(A) = rank(B) = n$$.换而言之, $${\textstyle A}$$与$${\textstyle B}$$均为满秩矩阵）。换句话说，这两个矩阵可以只经由初等行变换，或者只经由初等列变换，变为单位矩阵。

因为对矩阵$$A$$施以初等行变换（初等列变换）就相当于在$$A$$的左边（右边）乘以相应的初等矩阵，所以我们可以同时对$$A$$和$$I$$施以相同的初等行变换（初等列变换）。这样，当矩阵$$A$$被变为$$I$$时，$$I$$就被变为$$A$$的逆阵$$B$$。

矩阵的逆的性质

• $$\left (A^{-1} \right )^{-1}=A$$
• $$(\lambda A)^{-1}=\frac{1}{\lambda}\times A^{-1}$$
• $$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$$
• $$\left (A^\mathrm{T} \right )^{-1}=\left (A^{-1} \right )^{\mathrm{T}}$$（$$A^{\mathrm{T}}$$为A的转置）
• $$\det(A^{-1})=\frac{1}{\det(A)}$$（det为行列式）