矩阵的逆|极客教程

矩阵的逆是什么

逆矩阵（inverse matrix），又称反矩阵。在线性代数中，给定一个n 阶方阵 $ReferenceError: katex is not defined$ ，若存在一n 阶方阵 $ReferenceError: katex is not defined$ ，使得 $ReferenceError: katex is not defined$ ，其中 $ReferenceError: katex is not defined$ 为n 阶单位矩阵，则称 $ReferenceError: katex is not defined$ 是可逆的，且 $ReferenceError: katex is not defined$ 是 $ReferenceError: katex is not defined$ 的逆矩阵，记作 $ReferenceError: katex is not defined$ 。

只有方阵（n×n 的矩阵）才可能有逆矩阵。若方阵 $ReferenceError: katex is not defined$ 的逆矩阵存在，则称 $ReferenceError: katex is not defined$ 为非奇异方阵或可逆方阵。

与行列式类似，逆矩阵一般用于求解联立方程组。

矩阵的逆怎么求

矩阵的逆矩阵怎么求,我们来看下如何计算逆矩阵，有两种方法:

伴随矩阵法

如果矩阵 $ReferenceError: katex is not defined$ 可逆，则 $ReferenceError: katex is not defined$ 其中 $ReferenceError: katex is not defined$ 是 $ReferenceError: katex is not defined$ 的伴随矩阵。

注意： $ReferenceError: katex is not defined$ 中元素的排列特点是 $ReferenceError: katex is not defined$ 的第 $ReferenceError: katex is not defined$ 列元素是 $ReferenceError: katex is not defined$ 的第 $ReferenceError: katex is not defined$ 行元素的代数余子式。要求得 $ReferenceError: katex is not defined$ 即为求解 $ReferenceError: katex is not defined$ 的余因子矩阵的转置矩阵。

初等变换法

如果矩阵 $ReferenceError: katex is not defined$ 和 $ReferenceError: katex is not defined$ 互逆，则 $ReferenceError: katex is not defined$ 。由条件 $ReferenceError: katex is not defined$ 以及矩阵乘法的定义可知，矩阵 $ReferenceError: katex is not defined$ 和 $ReferenceError: katex is not defined$ 都是方阵。再由条件 $ReferenceError: katex is not defined$ 以及定理“两个矩阵的乘积的行列式等于这两个矩阵的行列式的乘积”可知，这两个矩阵的行列式都不为0。也就是说，这两个矩阵的秩等于它们的级数（或称为阶，也就是说，A与B都是 $ReferenceError: katex is not defined$ 方阵，且 $ReferenceError: katex is not defined$ .换而言之, $ReferenceError: katex is not defined$ 与 $ReferenceError: katex is not defined$ 均为满秩矩阵）。换句话说，这两个矩阵可以只经由初等行变换，或者只经由初等列变换，变为单位矩阵。

因为对矩阵 $ReferenceError: katex is not defined$ 施以初等行变换（初等列变换）就相当于在 $ReferenceError: katex is not defined$ 的左边（右边）乘以相应的初等矩阵，所以我们可以同时对 $ReferenceError: katex is not defined$ 和 $ReferenceError: katex is not defined$ 施以相同的初等行变换（初等列变换）。这样，当矩阵 $ReferenceError: katex is not defined$ 被变为 $ReferenceError: katex is not defined$ 时， $ReferenceError: katex is not defined$ 就被变为 $ReferenceError: katex is not defined$ 的逆阵 $ReferenceError: katex is not defined$ 。

矩阵的逆的性质

$$\left (A^{-1} \right )^{-1}=A$$
$$(\lambda A)^{-1}=\frac{1}{\lambda}\times A^{-1}$$
$$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$$
$$\left (A^\mathrm{T} \right )^{-1}=\left (A^{-1} \right )^{\mathrm{T}}$$（$$A^{\mathrm{T}}$$为A的转置）
$$\det(A^{-1})=\frac{1}{\det(A)}$$（det为行列式）