矩阵的逆

矩阵的逆是什么

逆矩阵（inverse matrix），又称反矩阵。在线性代数中，给定一个n 阶方阵\mathbf{A}，若存在一n 阶方阵\mathbf {B} ，使得\mathbf{AB}=\mathbf{BA}=\mathbf{I}_n，其中\mathbf{I}_n为n 阶单位矩阵，则称\mathbf{A} 是可逆的，且\mathbf {B} 是\mathbf{A}的逆矩阵，记作\mathbf {A} ^{-1}。

只有方阵（n×n 的矩阵）才可能有逆矩阵。若方阵\mathbf{A}的逆矩阵存在，则称\mathbf{A}为非奇异方阵或可逆方阵。

与行列式类似，逆矩阵一般用于求解联立方程组。

矩阵的逆怎么求

矩阵的逆矩阵怎么求,我们来看下如何计算逆矩阵，有两种方法:

伴随矩阵法

如果矩阵A可逆，则A^{-1}=\frac{A^*}{|A|}其中{\displaystyle A^{*}=adj(A)}是A的伴随矩阵。

注意：A^*中元素的排列特点是A^*的第k列元素是A的第k行元素的代数余子式。要求得A^*即为求解A的余因子矩阵的转置矩阵。

初等变换法

如果矩阵A和B互逆，则AB=BA=I。由条件AB=BA以及矩阵乘法的定义可知，矩阵A和B都是方阵。再由条件AB=I以及定理“两个矩阵的乘积的行列式等于这两个矩阵的行列式的乘积”可知，这两个矩阵的行列式都不为0。也就是说，这两个矩阵的秩等于它们的级数（或称为阶，也就是说，A与B都是n\times n方阵，且rank(A) = rank(B) = n.换而言之, {\textstyle A}与{\textstyle B}均为满秩矩阵）。换句话说，这两个矩阵可以只经由初等行变换，或者只经由初等列变换，变为单位矩阵。

因为对矩阵A施以初等行变换（初等列变换）就相当于在A的左边（右边）乘以相应的初等矩阵，所以我们可以同时对A和I施以相同的初等行变换（初等列变换）。这样，当矩阵A被变为I时，I就被变为A的逆阵B。

矩阵的逆的性质

• $$\left (A^{-1} \right )^{-1}=A$$
• $$(\lambda A)^{-1}=\frac{1}{\lambda}\times A^{-1}$$
• $$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$$
• $$\left (A^\mathrm{T} \right )^{-1}=\left (A^{-1} \right )^{\mathrm{T}}$$（$$A^{\mathrm{T}}$$为A的转置）
• $$\det(A^{-1})=\frac{1}{\det(A)}$$（det为行列式）