伴随矩阵

在线性代数中,一个方形矩阵的伴随矩阵是一个类似于逆矩阵的概念。如果矩阵可逆,那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数。然而,伴随矩阵对不可逆的矩阵也有定义,并且不需要用到除法。

伴随矩阵的定义

设R是一个交换环,A是一个以R中元素为系数的n×n的矩阵。A的伴随矩阵可按如下步骤定义:

定义:A关于第i行第j列的余子式(记作M_{ij})是去掉A的第i行第j列之后得到的(n − 1)×(n − 1)矩阵的行列式。
定义:A关于第i行第j列的代数余子式是:
C_{ij} =(-1)^{i+j} M_{ij}
定义:A的余子矩阵是一个n×n的矩阵C,使得其第i行第j列的元素是A关于第i 行第j 列的代数余子式。
引入以上的概念后,可以定义:矩阵A的伴随矩阵是A的余子矩阵的转置矩阵:

adj(A) = C^T
也就是说,A的伴随矩阵是一个n×n的矩阵(记作adj(A)),使得其第i 行第j 列的元素是A关于第j行第i列的代数余子式。

伴随矩阵的例子

2×2矩阵

一个2\times 2矩阵\mathbf{A} = \begin{pmatrix} {{a}} & {{b}}\\ {{c}} & {{d}} \end{pmatrix}的伴随矩阵是

\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \begin{pmatrix} {{d}} & {{-b}}\\ {{-c}} & {{a}} \end{pmatrix}.

3×3矩阵

对于3\times 3的矩阵,情况稍微复杂一点:

{\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}}.
其伴随矩阵是:

伴随矩阵
其中

{\displaystyle \left|{\begin{matrix}a_{im}&a_{in}\\a_{jm}&a_{jn}\end{matrix}}\right|=\det \left({\begin{matrix}a_{im}&a_{in}\\a_{jm}&a_{jn}\end{matrix}}\right)}.
要注意伴随矩阵是余子矩阵的转置,因此第3行第2列的系数是A关于第2行第3列的代数余子式。

具体情况

对于数值矩阵, 例如求矩阵A={\begin{pmatrix}-3&2&-5\\ -1&0&-2\\ 3&-4&1 \end{pmatrix}} 的伴随矩阵adj(A)

只需将数值代入上节得到的表达式中。

即:伴随矩阵

其中,M_{ij}为删掉矩阵 A 的第 i 横列与第 j 纵行后得到的行列式,C_{ji}为矩阵 A 的余因子。

例如:adj(A)中第3行第2列的元素为
伴随矩阵
依照其顺序一一计算,便可得到计算后的结果是:

伴随矩阵

伴随矩阵的应用

作为拉普拉斯公式的推论,关于n×n矩阵A的行列式,有:

\mathbf{A}\ \mathrm{adj}(\mathbf{A}) = \mathrm{adj}(\mathbf{A})\mathbf{A} = \det(\mathbf{A})\ \mathbf{I}\qquad(*)
其中I是n阶的 单位矩阵。事实上,A adj(A)的第i行第i列的系数是

\sum_{j=1}^{n} a_{i;j} C_{i,j}。根据拉普拉斯公式,等于A的行列式。
如果i ≠ j,那么A adj(A)的第i行第j列的系数是

\sum_{k=1}^{n} a_{i;k} C_{j,k}。拉普拉斯公式说明这个和等于0(实际上相当于把A的第j行元素换成第i行元素后求行列式。由于有两行相同,行列式为0)。
由这个公式可以推出一个重要结论:交换环R上的矩阵A可逆当且仅当其行列式在环R中可逆。

这是因为如果A可逆,那么

1 = \det(\mathbf I) = \det(\mathbf{A} \mathbf{A}^{-1}) = \det(\mathbf{A}) \det(\mathbf{A}^{-1})
如果det(A)是环中的可逆元那么公式(*)表明

\mathbf{A}^{-1} = \det(\mathbf{A})^{-1}\, \mathrm{adj}(\mathbf{A})

伴随矩阵的性质

对n×n的矩阵A和B,有:

  • \mathrm{adj}(\mathbf{I}) = \mathbf{I}
  • \mathrm{adj}(\mathbf{AB}) = \mathrm{adj}(\mathbf{B})\,\mathrm{adj}(\mathbf{A})
  • \mathrm{adj}(\mathbf{A}^T) = \mathrm{adj}(\mathbf{A})^T
  • \det\big(\mathrm{adj}(\mathbf{A})\big) = \det(\mathbf{A})^{n-1}
  • \mathrm{adj}(k \mathbf{A}) = k^{n-1} \ \mathrm{adj}(\mathbf{A})
  • 当n>2时,\mathrm{adj}(\mathrm{adj}(\mathbf{A})) =(\det \mathbf{A})^{n-2} \mathbf{A}
  • 如果A可逆,那么\mathrm{adj}(\mathbf{A}^{-1}) = \mathrm{adj}(\mathbf{A})^{-1} = \frac{A}{\det A}
  • 如果A是对称矩阵,那么其伴随矩阵也是对称矩阵;如果A是反对称矩阵,那么当n为偶数时,A的伴随矩阵也是反对称矩阵,n为奇数时则是对称矩阵。
  • 如果A是(半)正定矩阵,那么其伴随矩阵也是(半)正定矩阵。
  • 如果矩阵A和B相似,那么\mathrm{adj}(\mathbf{A})\mathrm{adj}(\mathbf{B})也相似。
  • 如果n>2,那么非零矩阵A是正交矩阵当且仅当\mathrm{adj}(\mathbf{A}) = \pm A^T

伴随矩阵的秩

当矩阵A可逆时,它的伴随矩阵也可逆,因此两者的秩一样,都是n。当矩阵A不可逆时,A的伴随矩阵的秩通常并不与A相同。当A的秩为n-1时,其伴随矩阵的秩为1,当A的秩小于n-1时,其伴随矩阵为零矩阵。

伴随矩阵的特征值

设矩阵A在复域中的特征值为\lambda_1, \lambda_2 \cdots \lambda_n(即为特征多项式的n个根),则A的伴随矩阵的特征值为

\lambda_2 \lambda_3 \cdots \lambda_{n}, \ \lambda_1 \lambda_3 \cdots \lambda_{n},

\cdots , \lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_{n-1}

伴随矩阵和特征多项式

p(t) = det(A − tI)A的特征多项式,定义q (t) = \frac{p (0)-p (t)}{t},那么:

\mathrm{adj}(\mathbf{A}) = q(\mathbf{A}) = -(p_1 \mathbf{I} + p_2 \mathbf{A} + p_3 \mathbf{A}^2 + \cdots + p_{n} \mathbf{A}^{n-1}) ,
其中p_jp(t)的各项系数:

p (t) = p_0 + p_1 t + p_2 t^2 + \cdots p_{n} t^{n}
伴随矩阵也出现在行列式的导数形式中。

赞(0)

评论 抢沙发

  • 昵称 (必填)
  • 邮箱 (必填)
  • 网址