伴随矩阵|极客教程

在线性代数中，一个方形矩阵的伴随矩阵是一个类似于逆矩阵的概念。如果矩阵可逆，那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数。然而，伴随矩阵对不可逆的矩阵也有定义，并且不需要用到除法。

伴随矩阵的定义

设R是一个交换环，A是一个以R中元素为系数的n×n的矩阵。A的伴随矩阵可按如下步骤定义：

定义：A关于第i行第j列的余子式（记作 $M_{ij}$ ）是去掉A的第i行第j列之后得到的 $(n - 1)\times(n - 1)$ 矩阵的行列式。
定义：A关于第i行第j列的代数余子式是：
$C_{ij} =(-1)^{i+j} M_{ij}$ 。
定义：A的余子矩阵是一个n×n的矩阵C，使得其第i行第j列的元素是A关于第i 行第j 列的代数余子式。
引入以上的概念后，可以定义：矩阵A的伴随矩阵是A的余子矩阵的转置矩阵：

$adj(A) = C^T$ ，
也就是说，A的伴随矩阵是一个n×n的矩阵（记作adj(A)），使得其第i 行第j 列的元素是A关于第j行第i列的代数余子式。

伴随矩阵的例子

2×2矩阵

一个 $2\times 2$ 矩阵 $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} {{a}}&{{b}}\\ {{c}} &{{d}} \end{pmatrix}$ 的伴随矩阵是

$\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \begin{pmatrix} {{d}}&{{-b}}\\ {{-c}}&{{a}} \end{pmatrix}$ .

3×3矩阵

对于 $3\times 3$ 的矩阵，情况稍微复杂一点：

$\mathbf {a} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}$ .
其伴随矩阵是：

伴随矩阵
其中

$\left|{\begin{matrix}a_{im}&a_{in}\\a_{jm}&a_{jn}\end{matrix}}\right|=\det \left({\begin{matrix}a_{im}&a_{in}\\a_{jm}&a_{jn}\end{matrix}}\right)$ .
要注意伴随矩阵是余子矩阵的转置，因此第3行第2列的系数是A关于第2行第3列的代数余子式。

具体情况

对于数值矩阵，例如求矩阵 $A={\begin{pmatrix}-3&2&-5\\ -1&0&-2\\ 3&-4&1 \end{pmatrix}}$ 的伴随矩阵 $adj(A)$ ，

只需将数值代入上节得到的表达式中。

即：伴随矩阵

其中， $M_{ij}$ 为删掉矩阵 $A$ 的第 i 横列与第 j 纵行后得到的行列式， $C_{ji}$ 为矩阵 $A$ 的余因子。

例如： $adj(A)$ 中第3行第2列的元素为
伴随矩阵
依照其顺序一一计算，便可得到计算后的结果是：

伴随矩阵

伴随矩阵的应用

作为拉普拉斯公式的推论，关于n×n矩阵A的行列式，有：

$\mathbf{A}\ \mathrm{adj}(\mathbf{A}) = \mathrm{adj}(\mathbf{A})\mathbf{A} = \det(\mathbf{A})\ \mathbf{I}\qquad(*)$
其中I是n阶的单位矩阵。事实上，A adj(A)的第i行第i列的系数是

$\sum_{j=1}^{n} a_{i;j} C_{i,j}$ 。根据拉普拉斯公式，等于A的行列式。
如果i ≠ j，那么 $A adj(A)$ 的第i行第j列的系数是

$\sum_{k=1}^{n} a_{i;k} C_{j,k}$ 。拉普拉斯公式说明这个和等于0（实际上相当于把A的第j行元素换成第i行元素后求行列式。由于有两行相同，行列式为0）。
由这个公式可以推出一个重要结论：交换环R上的矩阵A可逆当且仅当其行列式在环R中可逆。

这是因为如果A可逆，那么

$1 = \det(\mathbf I) = \det(\mathbf{A} \mathbf{A}^{-1}) = \det(\mathbf{A}) \det(\mathbf{A}^{-1})$ ，
如果det(A)是环中的可逆元那么公式（*）表明

$\mathbf{A}^{-1} = \det(\mathbf{A})^{-1}\, \mathrm{adj}(\mathbf{A})$

伴随矩阵的性质

对n×n的矩阵A和B，有：

$$\mathrm{adj}(\mathbf{I}) = \mathbf{I}$$，
$$ \mathrm{adj}(\mathbf{AB}) = \mathrm{adj}(\mathbf{B})\,\mathrm{adj}(\mathbf{A})$$，
$$\mathrm{adj}(\mathbf{A}^T) = \mathrm{adj}(\mathbf{A})^T$$，
$$\det\big(\mathrm{adj}(\mathbf{A})\big) = \det(\mathbf{A})^{n-1}$$，
$$\mathrm{adj}(k \mathbf{A}) = k^{n-1} \ \mathrm{adj}(\mathbf{A})$$
当n>2时， $\mathrm{adj}(\mathrm{adj}(\mathbf{A})) =(\det \mathbf{A})^{n-2} \mathbf{A}$
如果A可逆，那么 $\mathrm{adj}(\mathbf{A}^{-1}) = \mathrm{adj}(\mathbf{A})^{-1} = \frac{A}{\det A}$
如果A是对称矩阵，那么其伴随矩阵也是对称矩阵；如果A是反对称矩阵，那么当n为偶数时，A的伴随矩阵也是反对称矩阵，n为奇数时则是对称矩阵。
如果A是（半）正定矩阵，那么其伴随矩阵也是（半）正定矩阵。
如果矩阵A和B相似，那么 $\mathrm{adj}(\mathbf{A})$ 和 $\mathrm{adj}(\mathbf{B})$ 也相似。
如果n>2，那么非零矩阵A是正交矩阵当且仅当 $\mathrm{adj}(\mathbf{A}) = \pm A^T$

伴随矩阵的秩

当矩阵A可逆时，它的伴随矩阵也可逆，因此两者的秩一样，都是n。当矩阵A不可逆时，A的伴随矩阵的秩通常并不与A相同。当A的秩为n-1时，其伴随矩阵的秩为1，当A的秩小于n-1时，其伴随矩阵为零矩阵。

伴随矩阵的特征值

设矩阵A在复域中的特征值为 $\lambda_1, \lambda_2 \cdots \lambda_n$ (即为特征多项式的n个根），则A的伴随矩阵的特征值为

$\lambda_2 \lambda_3 \cdots \lambda_{n}, \ \lambda_1 \lambda_3 \cdots \lambda_{n}$ ,

$\cdots , \lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_{n-1}$ 。

伴随矩阵和特征多项式

设 $p(t) = det(A - tI)$ 为 $A$ 的特征多项式，定义 $q (t) = \frac{p (0)-p (t)}{t}$ ，那么：

$\mathrm{adj}(\mathbf{A}) = q(\mathbf{A}) = -(p_1 \mathbf{I} + p_2 \mathbf{A} + p_3 \mathbf{A}^2 + \cdots + p_{n} \mathbf{A}^{n-1})$ ,
其中 $p_j$ 是 $p(t)$ 的各项系数：

$p (t) = p_0 + p_1 t + p_2 t^2 + \cdots p_{n} t^{n}$ 。
伴随矩阵也出现在行列式的导数形式中。