伴随矩阵

在线性代数中，一个方形矩阵的伴随矩阵是一个类似于逆矩阵的概念。如果矩阵可逆，那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数。然而，伴随矩阵对不可逆的矩阵也有定义，并且不需要用到除法。

伴随矩阵的定义

设R是一个交换环，A是一个以R中元素为系数的n×n的矩阵。A的伴随矩阵可按如下步骤定义：

定义：A关于第i行第j列的余子式（记作$$M_{ij}$$）是去掉A的第i行第j列之后得到的$$(n − 1)×(n − 1)$$矩阵的行列式。
定义：A关于第i行第j列的代数余子式是：
$$C_{ij} =(-1)^{i+j} M_{ij}$$。
定义：A的余子矩阵是一个n×n的矩阵C，使得其第i行第j列的元素是A关于第i 行第j 列的代数余子式。
引入以上的概念后，可以定义：矩阵A的伴随矩阵是A的余子矩阵的转置矩阵：

$$adj(A) = C^T$$，
也就是说，A的伴随矩阵是一个n×n的矩阵（记作adj(A)），使得其第i 行第j 列的元素是A关于第j行第i列的代数余子式。

伴随矩阵的例子

2×2矩阵

一个$$2\times 2$$矩阵$$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} {{a}}&{{b}}\\ {{c}} &{{d}} \end{pmatrix}$$的伴随矩阵是

$$\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \begin{pmatrix} {{d}}&{{-b}}\\ {{-c}}&{{a}} \end{pmatrix}$$.

3×3矩阵

对于$$3\times 3$$的矩阵，情况稍微复杂一点：

$${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}}$$.
其伴随矩阵是：

其中

$${\displaystyle \left|{\begin{matrix}a_{im}&a_{in}\\a_{jm}&a_{jn}\end{matrix}}\right|=\det \left({\begin{matrix}a_{im}&a_{in}\\a_{jm}&a_{jn}\end{matrix}}\right)}$$.
要注意伴随矩阵是余子矩阵的转置，因此第3行第2列的系数是A关于第2行第3列的代数余子式。

具体情况

对于数值矩阵， 例如求矩阵$$A={\begin{pmatrix}-3&2&-5\\ -1&0&-2\\ 3&-4&1 \end{pmatrix}}$$ 的伴随矩阵$$adj(A)$$，

只需将数值代入上节得到的表达式中。

即：

其中，$$M_{ij}$$为删掉矩阵 $$A$$ 的第 i 横列与第 j 纵行后得到的行列式，$$C_{ji}$$为矩阵 $$A$$ 的余因子。

例如：$$adj(A)$$中第3行第2列的元素为

依照其顺序一一计算，便可得到计算后的结果是：

伴随矩阵的应用

作为拉普拉斯公式的推论，关于n×n矩阵A的行列式，有：

$$\mathbf{A}\ \mathrm{adj}(\mathbf{A}) = \mathrm{adj}(\mathbf{A})\mathbf{A} = \det(\mathbf{A})\ \mathbf{I}\qquad(*)$$
其中I是n阶的 单位矩阵。事实上，A adj(A)的第i行第i列的系数是

$$\sum_{j=1}^{n} a_{i;j} C_{i,j}$$。根据拉普拉斯公式，等于A的行列式。
如果i ≠ j，那么$$A adj(A)$$的第i行第j列的系数是

$$\sum_{k=1}^{n} a_{i;k} C_{j,k}$$。拉普拉斯公式说明这个和等于0（实际上相当于把A的第j行元素换成第i行元素后求行列式。由于有两行相同，行列式为0）。
由这个公式可以推出一个重要结论：交换环R上的矩阵A可逆当且仅当其行列式在环R中可逆。

这是因为如果A可逆，那么

$$1 = \det(\mathbf I) = \det(\mathbf{A} \mathbf{A}^{-1}) = \det(\mathbf{A}) \det(\mathbf{A}^{-1})$$，
如果det(A)是环中的可逆元那么公式（*）表明

$$\mathbf{A}^{-1} = \det(\mathbf{A})^{-1}\, \mathrm{adj}(\mathbf{A})$$

伴随矩阵的性质

对n×n的矩阵A和B，有：

• $$\mathrm{adj}(\mathbf{I}) = \mathbf{I}$$，
• $$ \mathrm{adj}(\mathbf{AB}) = \mathrm{adj}(\mathbf{B})\,\mathrm{adj}(\mathbf{A})$$，
• $$\mathrm{adj}(\mathbf{A}^T) = \mathrm{adj}(\mathbf{A})^T$$，
• $$\det\big(\mathrm{adj}(\mathbf{A})\big) = \det(\mathbf{A})^{n-1}$$，
• $$\mathrm{adj}(k \mathbf{A}) = k^{n-1} \ \mathrm{adj}(\mathbf{A})$$
• 当n>2时，$$\mathrm{adj}(\mathrm{adj}(\mathbf{A})) =(\det \mathbf{A})^{n-2} \mathbf{A}$$
• 如果A可逆，那么$$\mathrm{adj}(\mathbf{A}^{-1}) = \mathrm{adj}(\mathbf{A})^{-1} = \frac{A}{\det A}$$
• 如果A是对称矩阵，那么其伴随矩阵也是对称矩阵；如果A是反对称矩阵，那么当n为偶数时，A的伴随矩阵也是反对称矩阵，n为奇数时则是对称矩阵。
• 如果A是（半）正定矩阵，那么其伴随矩阵也是（半）正定矩阵。
• 如果矩阵A和B相似，那么$$\mathrm{adj}(\mathbf{A})$$和$$\mathrm{adj}(\mathbf{B})$$也相似。
• 如果n>2，那么非零矩阵A是正交矩阵当且仅当$$\mathrm{adj}(\mathbf{A}) = \pm A^T$$

伴随矩阵的秩

当矩阵A可逆时，它的伴随矩阵也可逆，因此两者的秩一样，都是n。当矩阵A不可逆时，A的伴随矩阵的秩通常并不与A相同。当A的秩为n-1时，其伴随矩阵的秩为1，当A的秩小于n-1时，其伴随矩阵为零矩阵。

伴随矩阵的特征值

设矩阵A在复域中的特征值为$$\lambda_1, \lambda_2 \cdots \lambda_n$$(即为特征多项式的n个根），则A的伴随矩阵的特征值为

$$\lambda_2 \lambda_3 \cdots \lambda_{n}, \ \lambda_1 \lambda_3 \cdots \lambda_{n}$$,

$$\cdots , \lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_{n-1}$$。

伴随矩阵和特征多项式

设 $$p(t) = det(A − tI)$$ 为$$A$$的特征多项式，定义$$q (t) = \frac{p (0)-p (t)}{t}$$，那么：

$$\mathrm{adj}(\mathbf{A}) = q(\mathbf{A}) = -(p_1 \mathbf{I} + p_2 \mathbf{A} + p_3 \mathbf{A}^2 + \cdots + p_{n} \mathbf{A}^{n-1})$$ ,
其中$$p_j$$ 是$$p(t)$$的各项系数：

$$p (t) = p_0 + p_1 t + p_2 t^2 + \cdots p_{n} t^{n}$$。
伴随矩阵也出现在行列式的导数形式中。