向量空间

向量空间是现代数学中的一个基本概念。是线性代数研究的基本对象。

向量空间的一个直观模型是向量几何,几何上的向量及相关的运算即向量加法,标量乘法,以及对运算的一些限制如封闭性,结合律,已大致地描述了“向量空间”这个数学概念的直观形象。

向量空间

在现代数学中,“向量”的概念不仅限于此,满足下列公理的任何数学对象都可被当作向量处理。譬如,实系数多项式的集合在定义适当的运算后构成向量空间,在代数上处理是方便的。单变元实函数的集合在定义适当的运算后,也构成向量空间,研究此类函数向量空间的数学分支称为泛函分析。

公理化定义

给定域F,F上的向量空间V是一个集合,其上定义了两种二元运算:

  • 向量加法 + : V × V → V,把V中的两个元素 u 和 v 映射到V中另一个元素,记作 u + v;
  • 标量乘法 · : F × V → V,把F中的一个元素 a 和 V 中的一个元素u变为V中的另一个元素,记作 a ·u。

V中的元素称为向量,相对地,F中的元素称为标量。

而集合V才构成一个向量空间(对F中的任意元素a、b以及V中的任意元素u、v、w都成立):

公理 说明
向量加法的结合律 u + (v + w) = (u + v) + w
向量加法的交换律 u + v = v + u
向量加法的单位元 存在一个叫做零向量的元素0 ∈ V,使得对任意u ∈ V都满足u + 0 = u
向量加法的逆元素 对任意v ∈ V都存在其逆元素−v ∈ V使得v + (−v) = 0
标量乘法与标量的域乘法相容 a(bv) = (ab)v
标量乘法的单位元 域F存在乘法单位元1满足1v = v
标量乘法对向量加法的分配律 a(u + v) = au + av
标量乘法对域加法的分配律 (a + b)v = av + bv

前四个公理说明装备了向量加法的V是交换群,余下的四个公理应用于标量乘法。需要注意的是向量之间的加法“+”和标量之间的加法“+”是不一样的,标量与向量之间的标量乘法·和两个标量之间的乘法(域F中自带的乘法)也是不一样的。

简而言之,向量空间是一个F−模。

基本性质

以下是一些可以从向量空间的公理直接推出的性质:

  • 零向量0是唯一的;
  • 对任意a ∈ F,a · 0 = 0;
  • 对任意u ∈ V,0=0 ·u (0是F的加法单位元)。
  • 如果a ·u = 0,则要么a = 0,要么u = 0。
  • 向量加法的逆向量v是唯一的,记作− v。u + (− v)也可以写成u − v,两者都是标准的。
  • 对任意u ∈ V, − u=−1 ·u .
  • 对任意a ∈ F以及u ∈ V, (−a) ·u= −(a ·u) = a · (− u).
    例子
    对一般域F,V记为F-向量空间。若F是实数域ℝ,则V称为实数向量空间;若F是复数域ℂ,则V称为复数向量空间;若F是有限域,则V称为有限域向量空间

最简单的F-向量空间是F自身。只要定义向量加法为域中元素的加法,标量乘法为域中元素的乘法就可以了。例如当F是实数域ℝ时,可以验证对任意实数a、b以及任意实数u、v、w,都有:

  • u + (v + w) = (u + v) + w,
  • v + w = w + v,
  • 零元存在:零元0满足:对任何的向量元素v,v + 0 = v,
  • 逆元素存在:对任何的向量元素v,它的相反数w = −v就满足v + w = 0。
  • 标量乘法对向量加法满足分配律:a(v + w) = a v + a w.
  • 向量乘法对标量加法满足分配律:(a + b)v = a v + b v.
  • 标量乘法与标量的域乘法相容:a(bv) =(ab)v。
  • 标量乘法有单位元:ℝ中的乘法单位元,也就是实数“1”满足:对任意实数v,1v = v。

更为常见的例子是给定了直角坐标系的平面:平面上的每一点P都有一个坐标P(x,y),并对应着一个向量(x, y)。所有普通意义上的平面向量组成了一个空间,记作ℝ²,因为每个向量都可以表示为两个实数构成的有序数组(x, y)。可以验证,对于普通意义上的向量加法和标量乘法,ℝ²满足向量空间的所有公理。实际上,向量空间是ℝ²的推广。

同样地,高维的欧几里得空间ℝn也是向量空间的例子。其中的向量表示为v=(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}),其中的a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}都是实数。定义向量的加法和标量乘法是:

\forall \lambda \in {\mathbb {R}},\,v=(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})\in {\mathbb {R}}^{n},\,w=(b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n})\in {\mathbb {R}}^{n}

v+w=(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})+(b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n})=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\cdots ,a_{n}+b_{n})

\lambda v=\lambda (a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})=(\lambda a_{1},\lambda a_{2},\cdots ,\lambda a_{n})
可以验证这也是一个向量空间。

再考虑所有系数为实数的多项式的集合{\mathbb {R}}[X]。对于通常意义上的多项式加法和标量乘法,{\mathbb {R}}[X]也构成一个向量空间。更广泛地,所有从实数域射到实数域的连续函数的集合{\mathcal {C}}({\mathbb {R}},{\mathbb {R}})也是向量空间,因为两个连续函数的和或差以及连续函数的若干倍都还是连续函数。

方程组与向量空间

向量空间的另一种例子是齐次线性方程组(常数项都是0的线性方程组)的解的集合。例如下面的方程组:

3x+2y-z=0 \\ x+5y+2z=0 \\ 如果(x_{1},y_{1},z_{1})和(x_{2},y_{2},z_{2})都是解,那么可以验证它们的“和”(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2})也是一组解,因为:

3(x_{1}+x_{2})+2(y_{1}+y_{2})-(z_{1}+z_{2})=(3x_{1}+2y_{1}-z_{1})+(3x_{2}+2y_{2}-z_{2})=0 \\ (x_{1}+x_{2})+5(y_{1}+y_{2})+2(z_{1}+z_{2})=(x_{1}+5y_{1}+2z_{1})+(x_{2}+5y_{2}+2z_{2})=0
同样,将一组解乘以一个常数后,仍然会是一组解。可以验证这样定义的“向量加法”和“标量乘法”满足向量空间的公理,因此这个方程组的所有解组成了一个向量空间。

一般来说,当齐次线性方程组中未知数个数大于方程的个数时,方程组有无限多组解,并且这些解组成一个向量空间。

对于齐次线性微分方程,解的集合也构成向量空间。比如说下面的方程:

f”+4xf’+\cos(x)f=0
出于和上面类似的理由,方程的两个解f_{1}和f_{2}的和函数f_{1}+f_{2}也满足方程。可以验证,这个方程的所有解构成一个向量空间。

子空间基底

如果一个向量空间V的一个非空子集合W对于V的加法及标量乘法都封闭(也就是说任意W中的元素相加或者和标量相乘之后仍然在W之中),那么将W称为V的线性子空间(简称子空间)。V的子空间中,最平凡的就是空间V自己,以及只包含0的子空间{0}

给出一个向量集合B,那么包含它的最小子空间就称为它的生成子空间,也称线性包络,记作span(B)。

给出一个向量集合B,若它的生成子空间就是向量空间V,则称B为V的一个生成集。如果一个向量空间V拥有一个元素个数有限的生成集,那么就称V是一个有限维空间。

可以生成一个向量空间V的线性无关子集,称为这个空间的基。若V={0},约定唯一的基是空集。对非零向量空间V,基是V“最小”的生成集。向量空间的基是对向量空间的一种刻画。确定了向量空间的一组基B之后,空间内的每个向量都有唯一的方法表达成基中元素的线性组合。如果能够把基中元素按下标排列:B=\{e_1,e_2,…,e_n,…\},那么空间中的每一个向量v便可以通过坐标系统来呈现:

v=\lambda_{1}e_{1}+\lambda_{2}e_{2}+\cdots +\lambda_{n}e_{n}+\cdots
这种表示方式必然存在,而且是唯一的。也就是说,向量空间的基提供了一个坐标系。

可以证明,一个向量空间的所有基都拥有相同基数,称为该空间的维度。当V是一个有限维空间时,任何一组基中的元素个数都是定值,等于空间的维度。例如,各种实数向量空间:ℝ⁰, ℝ¹, ℝ², ℝ³,…, ℝ∞,…中, ℝn的维度就是n。在一个有限维的向量空间(维度是n)中,确定一组基B=\{e_1,e_2,…,e_n\},那么所有的向量都可以用n个标量来表示。比如说,如果某个向量v表示为:

v=\lambda_{1}e_{1}+\lambda_{2}e_{2}+\cdots +\lambda_{n}e_{n}
那么v可以用数组v=(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots ,\lambda_{n})来表示。这种表示方式称为向量的坐标表示。按照这种表示方法,基中元素表示为:

e_{1}=(1,0,\cdots ,0) \\ e_{2}=(0,1,\cdots ,0) \\ e_{n}=(0,0,\cdots ,1)
可以证明,存在从任意一个n维的\mathbf {F}-向量空间到空间{\mathbf {F}}^{n}的双射。这种关系称为同构。

线性映射

给定两个系数域都是F的向量空间V和W,定义由V到W的线性变换(或称线性映射)为所有从V射到W并且它保持向量加法和标量乘法的运算的函数f:

f:V\rightarrow W
\forall a\in F,u,v\in V,f(u+v)=f(u)+f(v),f(a\cdot v)=a\cdot f(v)
所有线性变换的集合记为{\mathcal {L}}(V,W),这也是一个系数域为F的向量空间。在确定了V和W上各自的一组基之后,{\mathcal {L}}(V,W)中的线性变换可以通过矩阵来表示。

如果两个向量空间V和W之间的一个线性映射是一一映射,那么这个线性映射称为(线性)同构,表示两个空间构造相同的意思。如果在V和W之间存在同构,那么称这两个空间为同构的。如果向量空间V和W之间存在同构f:V\rightarrow W,那么其逆映射g:W\rightarrow V也存在,即对所有的x\in V,y\in W,都有:
g\circ f(x)=x,f\circ g(y)=y

概念化及额外结构

研究向量空间很自然涉及一些额外结构。额外结构如下:

一个实数或复数向量空间加上长度概念(就是范数)则成为赋范向量空间。
一个实数或复数向量空间加上长度和角度的概念则成为内积空间。
一个向量空间加上拓扑结构并满足连续性要求(加法及标量乘法是连续映射)则成为拓扑向量空间。
一个向量空间加上双线性算子(定义为向量乘法)则成为域代数。

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