向量空间|极客教程

向量空间是现代数学中的一个基本概念。是线性代数研究的基本对象。

向量空间的一个直观模型是向量几何，几何上的向量及相关的运算即向量加法，标量乘法，以及对运算的一些限制如封闭性，结合律，已大致地描述了“向量空间”这个数学概念的直观形象。

向量空间

在现代数学中，“向量”的概念不仅限于此，满足下列公理的任何数学对象都可被当作向量处理。譬如，实系数多项式的集合在定义适当的运算后构成向量空间，在代数上处理是方便的。单变元实函数的集合在定义适当的运算后，也构成向量空间，研究此类函数向量空间的数学分支称为泛函分析。

公理化定义

给定域F，F上的向量空间V是一个集合，其上定义了两种二元运算：

向量加法 + : V × V → V，把V中的两个元素 u 和 v 映射到V中另一个元素，记作 u + v；
标量乘法 · : F × V → V，把F中的一个元素 a 和 V 中的一个元素u变为V中的另一个元素，记作 a ·u。

V中的元素称为向量，相对地，F中的元素称为标量。

而集合V才构成一个向量空间（对F中的任意元素a、b以及V中的任意元素u、v、w都成立）：

公理	说明
向量加法的结合律	u + (v + w) = (u + v) + w
向量加法的交换律	u + v = v + u
向量加法的单位元	存在一个叫做零向量的元素0 ∈ V，使得对任意u ∈ V都满足u + 0 = u
向量加法的逆元素	对任意v ∈ V都存在其逆元素−v ∈ V使得v + (−v) = 0
标量乘法与标量的域乘法相容	a(bv) = (ab)v
标量乘法的单位元	域F存在乘法单位元1满足1v = v
标量乘法对向量加法的分配律	a(u + v) = au + av
标量乘法对域加法的分配律	(a + b)v = av + bv

前四个公理说明装备了向量加法的V是交换群，余下的四个公理应用于标量乘法。需要注意的是向量之间的加法“+”和标量之间的加法“+”是不一样的，标量与向量之间的标量乘法·和两个标量之间的乘法（域F中自带的乘法）也是不一样的。

简而言之，向量空间是一个F−模。

基本性质

以下是一些可以从向量空间的公理直接推出的性质：

零向量0是唯一的；
对任意a ∈ F，a · 0 = 0；
对任意u ∈ V，0=0 ·u （0是F的加法单位元）。
如果a ·u = 0，则要么a = 0，要么u = 0。
向量加法的逆向量v是唯一的，记作− v。u + (− v)也可以写成u − v，两者都是标准的。
对任意u ∈ V， − u=−1 ·u .
对任意a ∈ F以及u ∈ V， (−a) ·u= −(a ·u) = a · (− u).
例子
对一般域F，V记为F-向量空间。若F是实数域ℝ，则V称为实数向量空间；若F是复数域ℂ，则V称为复数向量空间；若F是有限域，则V称为有限域向量空间。

最简单的F-向量空间是F自身。只要定义向量加法为域中元素的加法，标量乘法为域中元素的乘法就可以了。例如当F是实数域ℝ时，可以验证对任意实数a、b以及任意实数u、v、w，都有：

u + (v + w) = (u + v) + w，
v + w = w + v，
零元存在：零元0满足：对任何的向量元素v，v + 0 = v，
逆元素存在：对任何的向量元素v，它的相反数w = −v就满足v + w = 0。
标量乘法对向量加法满足分配律：a(v + w) = a v + a w.
向量乘法对标量加法满足分配律：(a + b)v = a v + b v.
标量乘法与标量的域乘法相容：a(bv) =(ab)v。
标量乘法有单位元：ℝ中的乘法单位元，也就是实数“1”满足：对任意实数v，1v = v。

更为常见的例子是给定了直角坐标系的平面：平面上的每一点P都有一个坐标P(x,y)，并对应着一个向量(x, y)。所有普通意义上的平面向量组成了一个空间，记作ℝ²，因为每个向量都可以表示为两个实数构成的有序数组(x, y)。可以验证，对于普通意义上的向量加法和标量乘法，ℝ²满足向量空间的所有公理。实际上，向量空间是ℝ²的推广。

同样地，高维的欧几里得空间ℝn也是向量空间的例子。其中的向量表示为 $v=(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})$ ，其中的 $a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}$ 都是实数。定义向量的加法和标量乘法是：

$\forall \lambda \in {\mathbb {R}},\,v=(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})\in {\mathbb {R}}^{n},\,w=(b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n})\in {\mathbb {R}}^{n}$ ，

$v+w=(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})+(b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n})=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\cdots ,a_{n}+b_{n})$

$\lambda v=\lambda (a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})=(\lambda a_{1},\lambda a_{2},\cdots ,\lambda a_{n})$
可以验证这也是一个向量空间。

再考虑所有系数为实数的多项式的集合 ${\mathbb {R}}[X]$ 。对于通常意义上的多项式加法和标量乘法， ${\mathbb {R}}[X]$ 也构成一个向量空间。更广泛地，所有从实数域射到实数域的连续函数的集合 ${\mathcal {C}}({\mathbb {R}},{\mathbb {R}})$ 也是向量空间，因为两个连续函数的和或差以及连续函数的若干倍都还是连续函数。

方程组与向量空间

向量空间的另一种例子是齐次线性方程组（常数项都是0的线性方程组）的解的集合。例如下面的方程组：

$3x+2y-z=0 \\ x+5y+2z=0 \\ 如果(x_{1},y_{1},z_{1})和(x_{2},y_{2},z_{2})都是解，那么可以验证它们的“和”(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2})也是一组解$ ，因为：

$3(x_{1}+x_{2})+2(y_{1}+y_{2})-(z_{1}+z_{2})=(3x_{1}+2y_{1}-z_{1})+(3x_{2}+2y_{2}-z_{2})=0 \\ (x_{1}+x_{2})+5(y_{1}+y_{2})+2(z_{1}+z_{2})=(x_{1}+5y_{1}+2z_{1})+(x_{2}+5y_{2}+2z_{2})=0$
同样，将一组解乘以一个常数后，仍然会是一组解。可以验证这样定义的“向量加法”和“标量乘法”满足向量空间的公理，因此这个方程组的所有解组成了一个向量空间。

一般来说，当齐次线性方程组中未知数个数大于方程的个数时，方程组有无限多组解，并且这些解组成一个向量空间。

对于齐次线性微分方程，解的集合也构成向量空间。比如说下面的方程：

$f”+4xf’+\cos(x)f=0$
出于和上面类似的理由，方程的两个解 $f_{1}和f_{2}的和函数f_{1}+f_{2}$ 也满足方程。可以验证，这个方程的所有解构成一个向量空间。

子空间基底

如果一个向量空间V的一个非空子集合W对于V的加法及标量乘法都封闭（也就是说任意W中的元素相加或者和标量相乘之后仍然在W之中），那么将W称为V的线性子空间（简称子空间）。V的子空间中，最平凡的就是空间V自己，以及只包含0的子空间 ${0}$ 。

给出一个向量集合B，那么包含它的最小子空间就称为它的生成子空间，也称线性包络，记作span(B)。

给出一个向量集合B，若它的生成子空间就是向量空间V，则称B为V的一个生成集。如果一个向量空间V拥有一个元素个数有限的生成集，那么就称V是一个有限维空间。

可以生成一个向量空间V的线性无关子集，称为这个空间的基。若V={0}，约定唯一的基是空集。对非零向量空间V，基是V“最小”的生成集。向量空间的基是对向量空间的一种刻画。确定了向量空间的一组基B之后，空间内的每个向量都有唯一的方法表达成基中元素的线性组合。如果能够把基中元素按下标排列： $B=\{e_1,e_2,…,e_n,…\}$ ，那么空间中的每一个向量v便可以通过坐标系统来呈现：

$v=\lambda_{1}e_{1}+\lambda_{2}e_{2}+\cdots +\lambda_{n}e_{n}+\cdots$
这种表示方式必然存在，而且是唯一的。也就是说，向量空间的基提供了一个坐标系。

可以证明，一个向量空间的所有基都拥有相同基数，称为该空间的维度。当V是一个有限维空间时，任何一组基中的元素个数都是定值，等于空间的维度。例如，各种实数向量空间：ℝ⁰, ℝ¹, ℝ², ℝ³,…, ℝ∞,…中， ℝn的维度就是n。在一个有限维的向量空间（维度是n）中，确定一组基 $B=\{e_1,e_2,…,e_n\}$ ，那么所有的向量都可以用n个标量来表示。比如说，如果某个向量v表示为：

$v=\lambda_{1}e_{1}+\lambda_{2}e_{2}+\cdots +\lambda_{n}e_{n}$
那么v可以用数组 $v=(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots ,\lambda_{n})$ 来表示。这种表示方式称为向量的坐标表示。按照这种表示方法，基中元素表示为：

$e_{1}=(1,0,\cdots ,0) \\ e_{2}=(0,1,\cdots ,0) \\ e_{n}=(0,0,\cdots ,1)$
可以证明，存在从任意一个n维的 $\mathbf {F}$ -向量空间到空间 ${\mathbf {F}}^{n}$ 的双射。这种关系称为同构。

线性映射

给定两个系数域都是F的向量空间V和W,定义由V到W的线性变换（或称线性映射）为所有从V射到W并且它保持向量加法和标量乘法的运算的函数f：

$f:V\rightarrow W$
$\forall a\in F,u,v\in V,f(u+v)=f(u)+f(v),f(a\cdot v)=a\cdot f(v)$
所有线性变换的集合记为 ${\mathcal {L}}(V,W)$ ，这也是一个系数域为F的向量空间。在确定了V和W上各自的一组基之后， ${\mathcal {L}}(V,W)$ 中的线性变换可以通过矩阵来表示。

如果两个向量空间V和W之间的一个线性映射是一一映射，那么这个线性映射称为（线性）同构，表示两个空间构造相同的意思。如果在V和W之间存在同构，那么称这两个空间为同构的。如果向量空间V和W之间存在同构 $f:V\rightarrow W$ ，那么其逆映射 $g:W\rightarrow V$ 也存在，即对所有的 $x\in V,y\in W$ ，都有：
$g\circ f(x)=x,f\circ g(y)=y$