方块矩阵

方块矩阵，也称方阵、方矩阵或正方矩阵，是行数及列数皆相同的矩阵。由$$n \times n$$矩阵组成的集合，连同矩阵加法和矩阵乘法，构成环。除了$$n=1$$，此环并不是交换环。

$$M(n, R)$$，即实方块矩阵环，是个实有单位的结合代数。$$M(n, C)$$，即复方块矩阵环，则是复结合代数。

单位矩阵$$I_n$$的对角线全是1而其他位置全是0，对所有$$m \times n$$矩阵$$M$$,及$$n \times k$$矩阵$$N$$,都有$$MI_n=M$$,及$$I_nN=N$$。 例如，若$$n=3$$：

$$ I_3 =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}$$
单位矩阵是方块矩阵环的单位元。

方块矩阵环的可逆元称为可逆矩阵或非奇异方阵。$$n \times n$$矩阵$$A$$是可逆当且仅当存在矩阵$$B$$,使得

$$AB=I_n(=BA)$$。
此时$$B$$,称为$$A$$的逆矩阵，并记作$$A^{-1}$$。 所有$$n\times n$$矩阵在乘法上组成一个群（亦是一个李群），称为一般线性群。

若数字$$\lambda$$和非零向量$$\vec v$$,满足$$A\vec v=\lambda\vec v$$,，则$$\vec v$$为$$A$$的一个特征向量，$$\lambda$$是其对应的特征值。数字$$\lambda$$为$$A$$的特征值当且仅当$$A-\lambda I_n$$可逆，又当且仅当$$p_A(\lambda)=0$$。这里，$$p_A(x)$$是$$A$$的特征多项式。特征多项式是一个$$n$$次多项式，有$$n$$个复根（考虑重根），即$$A$$有$$n$$个特征值。

方块矩阵$$A$$的行列式是其$$n$$个特征值的积，但亦可经由莱布尼茨公式计算出来。可逆矩阵正好是那些行列式非零的矩阵。

高斯-若尔当消元法非常重要，可以用来计算矩阵的行列式，秩，逆矩阵，并解决线性方程组。

矩阵的迹是$$n \times n$$矩阵的对角线元素之和，也是其$$n$$个特征值之和。

所有正交矩阵都是方块矩阵。

方块矩阵的等价命题
线性代数中，下列关于方块矩阵A的命题是等价的（同时成立，或同时不成立）：

• A 可逆 ; A的反矩阵存在。
• $$det(A)≠ 0$$.
• $$rank(A)= n$$.
• $$Null(A) = 0$$.
• A的特征值中没有0。
• 对任意b属于$$Fn，Ax = b$$有唯一解。
• $$Ax = 0$$只有平凡解。
• $$A^TA$$可逆。
• A与单位矩阵行（列）等价。
• A的行向量或列向量张成$$Fn$$.
• A的零空间只有零向量。
• A的值域为$$Fn$$.
• A的行（列）向量构成$$Fn (Fn)$$中向量的线性无关集。
  这里，F为矩阵元素所属的域。通常，这个域为实数域或复数域。