方块矩阵

方块矩阵,也称方阵、方矩阵或正方矩阵,是行数及列数皆相同的矩阵。由n \times n矩阵组成的集合,连同矩阵加法和矩阵乘法,构成环。除了n=1,此环并不是交换环。

M(n, R),即实方块矩阵环,是个实有单位的结合代数。M(n, C),即复方块矩阵环,则是复结合代数。

单位矩阵I_n的对角线全是1而其他位置全是0,对所有m \times n矩阵M,及n \times k矩阵N,都有MI_n=M,及I_nN=N。 例如,若n=3

I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
单位矩阵是方块矩阵环的单位元。

方块矩阵环的可逆元称为可逆矩阵或非奇异方阵。n \times n矩阵A是可逆当且仅当存在矩阵B,使得

AB=I_n(=BA)
此时B,称为A逆矩阵,并记作 A^{-1}。 所有n\times n矩阵在乘法上组成一个群(亦是一个李群),称为一般线性群。

若数字\lambda 和非零向量\vec v,满足A\vec v=\lambda\vec v,,则\vec vA的一个特征向量,\lambda 是其对应的特征值。数字\lambda A的特征值当且仅当A-\lambda I_n可逆,又当且仅当p_A(\lambda)=0。这里,p_A(x)A的特征多项式。特征多项式是一个n次多项式,有n个复根(考虑重根),即An个特征值。

方块矩阵A的行列式是其n个特征值的积,但亦可经由莱布尼茨公式计算出来。可逆矩阵正好是那些行列式非零的矩阵。

高斯-若尔当消元法非常重要,可以用来计算矩阵的行列式,秩,逆矩阵,并解决线性方程组。

矩阵的迹是n \times n矩阵的对角线元素之和,也是其n个特征值之和。

所有正交矩阵都是方块矩阵。

方块矩阵的等价命题
线性代数中,下列关于方块矩阵A的命题是等价的(同时成立,或同时不成立):

  • A 可逆 ; A的反矩阵存在。
  • det(A)≠ 0.
  • rank(A)= n.
  • Null(A) = 0.
  • A的特征值中没有0。
  • 对任意b属于Fn,Ax = b有唯一解。
  • Ax = 0只有平凡解。
  • A^TA可逆。
  • A与单位矩阵行(列)等价。
  • A的行向量或列向量张成Fn.
  • A的零空间只有零向量。
  • A的值域为Fn.
  • A的行(列)向量构成Fn (Fn)中向量的线性无关集。
    这里,F为矩阵元素所属的域。通常,这个域为实数域或复数域。

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