正定矩阵|极客教程

在线性代数里，正定矩阵是埃尔米特矩阵的一种，有时会简称为正定阵。在线性代数中，正定矩阵的性质类似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式（复域中则对应埃尔米特正定双线性形式）。

正定矩阵的定义

一个 $n×n$ 的实对称矩阵 $M$ 是正定的，当且仅当对于所有的非零实系数向量 $z$ ，都有 $z^TMz > 0$ 。其中 $z^T$ 表示z的转置。

对于复数的情况，定义则为：一个 $n×n$ 的埃尔米特矩阵(或厄米矩阵) $M$ 是正定的当且仅当对于每个非零的复向量 $z$ ，都有 $z^*Mz > 0$ 。其中 $z^*$ 表示 $z$ 的共轭转置。由于 $M$ 是埃尔米特矩阵，经计算可知，对于任意的复向量 $z$ ， $z^*Mz$ 必然是实数，从而可以与0比较大小。因此这个定义是自洽的。

如何判别正定矩阵

对 $n×n$ 的埃尔米特矩阵 $M$ ，下列性质与“ $M$ 为正定矩阵”等价：

矩阵 $M$ 的所有的特征值 $\lambda_i$ 都是正的。根据谱定理， $M$ 必然与一个实对角矩阵D相似（也就是说 $M = P^{-1}DP$ ，其中 $P$ 是幺正矩阵，或者说 $M$ 在某个正交基可以表示为一个实对角矩阵）。因此， $M$ 是正定阵当且仅当相应的D的对角线上元素都是正的。
半双线性形式
$\langle \textbf{x},\textbf{y}\rangle = \textbf{x}^{*} M \textbf{y}$
定义了一个 $C^n$ 上的内积。实际上，所有 $C^n$ 上的内积都可看做由某个正定阵通过此种方式得到。
$$M$$是n个线性无关的k维向量$$x_1,\ldots,x_n \in \mathbb{C}^k$$的Gram矩阵，其中的k为某个正整数。更精确地说，$$M$$定义为：
$$M_{ij} = \langle \textbf{x}_i, \textbf{x}_j\rangle = \textbf{x}_i^{*} \textbf{x}_j$$.
换句话说，$$M$$具有$$A^*A$$的形式，其中A不一定是方阵，但需要是单射的。
$$M$$的所有顺序主子式，也就是顺序主子阵的行列式都是正的（西尔维斯特准则）。明确来说，就是考察下列矩阵的行列式：
$$M$$左上角1×1的矩阵
$$M$$左上角2×2矩阵
…
$$M$$自身。
对于半正定矩阵来说，相应的条件应改为所有的主子式非负。顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。比如以下例子：

$$ \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0
\end{bmatrix} $$
5. 存在唯一的下三角矩阵$$L$$，其主对角线上的元素全是正的，使得：
$$M=L L^*$$.
其中$$L^*$$是$$L$$的共轭转置。 T这一分解被称为Cholesky分解。

对于实对称矩阵，只需将上述性质中的 $\mathbb{C}^n$ 改为 $\mathbb {R} ^{n}$ ，将“共轭转置”改为“转置”就可以了。

二次型

由以上的第二个等价条件，可以得到二次型形式下正定矩阵的等价条件：用 $\mathbb {K}$ 代表 $\mathbb {C}$ 或 $\mathbb {R}$ ，设 $\mathbb{V}$ 是 $\mathbb {K}$ 上的一个向量空间。一个埃尔米特型：

$B : V \times V \rightarrow K$
是一个双线性映射，使得B（x, y）总是B（y, x）的共轭。这样的一个映射B是正定的当且仅当对 $\mathbb{V}$ 中所有的非零向量x，都有B(x, x) > 0。

负定、半定及不定矩阵

与正定矩阵相对应的，一个n×n的埃尔米特矩阵 $M$ 是负定矩阵（英语：negative definite matrix）当且仅当对所有不为零的 $z\in \mathbb {R} ^{n}$ （或 $z\in \mathbb {C} ^{n}$ ），都有：

$z^{*}Mz<0\,$
$M$ 是半正定矩阵（英语：positive semi-definite matrix）当且仅当对所有不为零的 $z\in \mathbb {R} ^{n}$ （或 $z\in \mathbb {C} ^{n}$ ），都有：

$z^{*}Mz\geq 0$
$M$ 是半负定矩阵（英语：negative semi-definite matrix）当且仅当对所有不为零的 $z\in \mathbb {R} ^{n}$ （或 $z\in \mathbb {C} ^{n}$ ），都有：

$z^{*}Mz\leq 0$
如果一个埃尔米特矩阵既不是半正定也不是半负定的，那么称其为不定矩阵（英语：indefinite matrix）。

可以看出，上一节中正定阵的等价性质1只需略作相应改动，就可以变为判别负定矩阵、半正定矩阵和半负定矩阵的准则。注意当M是半正定时，相应的Gram矩阵不必由线性无关的向量组成。对任意矩阵 $A$ ， $A^*A$ 必然是半正定的，并有 $rank(A) = rank（A^*A$ ，两者的秩相等）。反过来，任意的半正定矩阵都可以写作M = A*A，这就是Cholesky分解。

一个埃尔米特矩阵M是负定矩阵当且仅当M的所有奇数阶顺序主子式小于0，所有偶数阶顺序主子式大于0。当M是负定矩阵时，M的逆矩阵也是负定的。

正定矩阵的性质

若 $M$ 为半正定阵，可以写作 $M \geq 0$ 。如果 $M$ 是正定阵，可以写作 $M > 0$ 。这个记法来自泛函分析，其中的正定阵定义了正算子。

对于一般的埃尔米特矩阵， $M$ 、 $N$ ， $M\geq N$ 当且仅当 $M-N \geq 0$ 。这样可以定义一个在埃尔米特矩阵集合上的偏序关系。类似地，可以定义 $M>N$ 。

每个正定阵都是可逆的，它的逆也是正定阵。如果 $M \geq N > 0$ 那么 $N^{-1} \geq M^{-1} > 0$ 。
如果 $M$ 是正定阵， $r > 0$ 为正实数，那么 $r M$ 也是正定阵。
如果 $M$ 、 $N$ 是正定阵，那么和 $M + N$ 、乘积 $MNM$ 与 $NMN$ 都是正定的。如果 $M N = N M$ ，那么 $M N$ 仍是正定阵。
如果 $M=(m_{ij}) > 0$ 那么主对角线上的系数 $m_{ii}$ 为正实数。于是有 $\text{tr}(M)>0$ 。此外还有
$| m_{ij} | \leq \sqrt{m_{ii} m_{jj}} \leq \frac{m_{ii}+m_{jj}}{2}$ .
矩阵 $M$ 是正定阵当且仅当存在唯一的正定阵 $B>0$ 使得 $B^2 = M$ 。根据其唯一性可以记作 $B = M^{1/2}$ ，称 $B$ 为 $M$ 的平方根。对半正定阵也有类似结论。同时，如果 $M > N > 0$ 那么 $M^{1/2} > N^{1/2}>0$ .
如果 $M,N > 0$ 那么 $M\otimes N > 0$ ，其中 $\otimes$ 表示克罗内克乘积。
对矩阵 $M=(m_{ij}),N=(n_{ij})$ ，将两者同一位置上的系数相乘所得的矩阵记为 $M\circ N$ ，即 $M\circ N_{i,j}=m_{ij} n_{ij}$ ，称为 $M$ 与 $N$ 的阿达马乘积。如果 $M,N>0$ ，那么 $M\circ N > 0$ 。如果 $M,N$ 为实系数矩阵，则有如下不等式成立：
$\det(M\circ N) \geq (\det N) \prod_{i} m_{ii}$ .
设 $M > 0$ ， $N$ 为埃尔米特矩阵。如果
$MN+NM \geq 0$ （ $MN+NM > 0$ ），那么 $N\geq 0$ （ $N > 0$ ）。
如果 $M,N\geq 0$ 为实系数矩阵，则 $\text{tr}(MN)\geq 0$ 。
如果 $M>0$ 为实系数矩阵，那么存在 $\delta>0$ 使得 $M\geq \delta I$ ，其中 $I$ 为单位矩阵。