正定矩阵

在线性代数里，正定矩阵是埃尔米特矩阵的一种，有时会简称为正定阵。在线性代数中，正定矩阵的性质类似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式（复域中则对应埃尔米特正定双线性形式）。

正定矩阵的定义

一个n×n的实对称矩阵M是正定的，当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有z^TMz > 0。其中z^T表示z的转置。

对于复数的情况，定义则为：一个n×n的埃尔米特矩阵(或厄米矩阵)M是正定的当且仅当对于每个非零的复向量z，都有z^*Mz > 0。其中z^*表示z的共轭转置。由于M是埃尔米特矩阵，经计算可知，对于任意的复向量z，z^*Mz必然是实数，从而可以与0比较大小。因此这个定义是自洽的。

如何判别正定矩阵

对n×n的埃尔米特矩阵M，下列性质与“M为正定矩阵”等价：

1. 矩阵M的所有的特征值\lambda_i都是正的。根据谱定理，M必然与一个实对角矩阵D相似（也就是说M = P^{-1}DP ，其中P是幺正矩阵，或者说M在某个正交基可以表示为一个实对角矩阵）。因此，M是正定阵当且仅当相应的D的对角线上元素都是正的。
2. 半双线性形式
   \langle \textbf{x},\textbf{y}\rangle = \textbf{x}^{*} M \textbf{y}
   定义了一个C^n上的内积。实际上，所有C^n上的内积都可看做由某个正定阵通过此种方式得到。

3. $$M$$是n个线性无关的k维向量$$x_1,\ldots,x_n \in \mathbb{C}^k$$的Gram矩阵，其中的k为某个正整数。更精确地说，$$M$$定义为：
   $$M_{ij} = \langle \textbf{x}_i, \textbf{x}_j\rangle = \textbf{x}_i^{*} \textbf{x}_j$$.
   换句话说，$$M$$具有$$A^*A$$的形式，其中A不一定是方阵，但需要是单射的。

4. $$M$$的所有顺序主子式，也就是顺序主子阵的行列式都是正的（西尔维斯特准则）。明确来说，就是考察下列矩阵的行列式：
   $$M$$左上角1×1的矩阵
   $$M$$左上角2×2矩阵
   …
   $$M$$自身。
   对于半正定矩阵来说，相应的条件应改为所有的主子式非负。顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。比如以下例子：

$$ \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0
\end{bmatrix} $$
5. 存在唯一的下三角矩阵$$L$$，其主对角线上的元素全是正的，使得：
$$M=L L^*$$.
其中$$L^*$$是$$L$$的共轭转置。 T这一分解被称为Cholesky分解。

对于实对称矩阵，只需将上述性质中的\mathbb{C}^n改为\mathbb {R} ^{n}，将“共轭转置”改为“转置”就可以了。

二次型

由以上的第二个等价条件，可以得到二次型形式下正定矩阵的等价条件：用\mathbb {K} 代表\mathbb {C} 或\mathbb {R} ，设\mathbb{V}是\mathbb {K} 上的一个向量空间。一个埃尔米特型：

B : V \times V \rightarrow K
是一个双线性映射，使得B（x, y）总是B（y, x）的共轭。这样的一个映射B是正定的当且仅当对\mathbb{V}中所有的非零向量x，都有B(x, x) > 0。

负定、半定及不定矩阵

与正定矩阵相对应的，一个n×n的埃尔米特矩阵M是负定矩阵（英语：negative definite matrix）当且仅当对所有不为零的{\displaystyle z\in \mathbb {R} ^{n}}（或{\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}}），都有：

{\displaystyle z^{*}Mz<0\,}
M是半正定矩阵（英语：positive semi-definite matrix）当且仅当对所有不为零的{\displaystyle z\in \mathbb {R} ^{n}}（或{\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}}），都有：

{\displaystyle z^{*}Mz\geq 0}
M是半负定矩阵（英语：negative semi-definite matrix）当且仅当对所有不为零的{\displaystyle z\in \mathbb {R} ^{n}}（或{\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}}），都有：

{\displaystyle z^{*}Mz\leq 0}
如果一个埃尔米特矩阵既不是半正定也不是半负定的，那么称其为不定矩阵（英语：indefinite matrix）。

可以看出，上一节中正定阵的等价性质1只需略作相应改动，就可以变为判别负定矩阵、半正定矩阵和半负定矩阵的准则。注意当M是半正定时，相应的Gram矩阵不必由线性无关的向量组成。对任意矩阵A，A^*A必然是半正定的，并有rank(A) = rank（A^*A，两者的秩相等）。反过来，任意的半正定矩阵都可以写作M = A*A，这就是Cholesky分解。

一个埃尔米特矩阵M是负定矩阵当且仅当M的所有奇数阶顺序主子式小于0，所有偶数阶顺序主子式大于0。当M是负定矩阵时，M的逆矩阵也是负定的。

正定矩阵的性质

若M为半正定阵，可以写作M \geq 0 。如果M是正定阵，可以写作M > 0。这个记法来自泛函分析，其中的正定阵定义了正算子。

对于一般的埃尔米特矩阵，M、N，M\geq N 当且仅当M-N \geq 0 。这样可以定义一个在埃尔米特矩阵集合上的偏序关系。类似地，可以定义M>N。

1. 每个正定阵都是可逆的，它的逆也是正定阵。如果M \geq N > 0 那么N^{-1} \geq M^{-1} > 0。

2. 如果M是正定阵，r > 0为正实数，那么r M也是正定阵。
   如果M、N是正定阵，那么和M + N、乘积MNM与NMN都是正定的。如果M N = N M，那么M N仍是正定阵。

3. 如果M=(m_{ij}) > 0 那么主对角线上的系数m_{ii} 为正实数。于是有\text{tr}(M)>0 。此外还有
   | m_{ij} | \leq \sqrt{m_{ii} m_{jj}} \leq \frac{m_{ii}+m_{jj}}{2}.

4. 矩阵M是正定阵当且仅当存在唯一的正定阵B>0 使得B^2 = M 。根据其唯一性可以记作B = M^{1/2} ，称B为M的平方根。对半正定阵也有类似结论。同时，如果M > N > 0 那么M^{1/2} > N^{1/2}>0.
5. 如果M,N > 0 那么M\otimes N > 0 ，其中\otimes表示克罗内克乘积。

6. 对矩阵M=(m_{ij}),N=(n_{ij}) ，将两者同一位置上的系数相乘所得的矩阵记为M\circ N，即M\circ N_{i,j}=m_{ij} n_{ij} ，称为M与N的阿达马乘积。如果M,N>0 ，那么M\circ N > 0。如果M,N 为实系数矩阵，则有如下不等式成立：
   \det(M\circ N) \geq (\det N) \prod_{i} m_{ii}.

7. 设M > 0 ，N为埃尔米特矩阵。如果
   MN+NM \geq 0 （MN+NM > 0 ），那么N\geq 0（N > 0）。

8. 如果M,N\geq 0为实系数矩阵，则\text{tr}(MN)\geq 0。
9. 如果M>0为实系数矩阵，那么存在\delta>0 使得M\geq \delta I，其中I 为单位矩阵。