三角矩阵

在线性代数中,三角矩阵是方形矩阵的一种,因其非零系数的排列呈三角形状而得名。三角矩阵分上三角矩阵下三角矩阵两种。上三角矩阵的对角线左下方的系数全部为零,下三角矩阵的对角线右上方的系数全部为零。

三角矩阵可以看做是一般方阵的一种简化情形。比如,由于带三角矩阵的矩阵方程容易求解,在解多元线性方程组时,总是将其系数矩阵通过初等变换化为三角矩阵来求解;又如三角矩阵的行列式就是其对角线上元素的乘积,很容易计算。有鉴于此,在数值分析等分支中三角矩阵十分重要。一个可逆矩阵A可以通过LU分解变成一个下三角矩阵L与一个上三角矩阵U的乘积。

上三角矩阵和下三角矩阵

一个如下形状的矩阵:

{\mathbf {L}}={\begin{bmatrix}l_{{1,1}}&&\cdots &&0\\l_{{2,1}}&l_{{2,2}}&&(0)&\\l_{{3,1}}&l_{{3,2}}&\ddots &&\vdots \\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\\l_{{n,1}}&l_{{n,2}}&\ldots &l_{{n,n-1}}&l_{{n,n}}\end{bmatrix}}
被称为下三角矩阵;同样的,一个如下形状的矩阵:

{\mathbf {U}}={\begin{bmatrix}u_{{1,1}}&u_{{1,2}}&u_{{1,3}}&\ldots &u_{{1,n}}\\&u_{{2,2}}&u_{{2,3}}&\ldots &u_{{2,n}}\\\vdots &&\ddots &\ddots &\vdots \\&(0)&&\ddots &u_{{n-1,n}}\\0&&\cdots &&u_{{n,n}}\end{bmatrix}}
被称为上三角矩阵。
上(下)三角矩阵的性质:

  • 上(下)三角矩阵乘以系数后也是上(下)三角矩阵;
  • 上(下)三角矩阵间的加减法和乘法运算的结果仍是上(下)三角矩阵;
  • 上(下)三角矩阵的逆也仍然是上(下)三角矩阵。

这些事实说明:所有上(下)三角矩阵的集合以及相应的运算构成一个方形矩阵集合的一个子代数。然而要注意的是上三角矩阵与下三角矩阵的乘积一般并不是三角矩阵。

特殊的三角矩阵

严格三角矩阵

一个上(下)三角矩阵是严格上(下)三角矩阵当且仅当其主对角线上的系数都为零。所有的是严格上(下)三角矩阵也形成一个子代数。所有的严格三角矩阵都是幂零矩阵。

单位三角矩阵

一个上(下)三角矩阵是单位上(下)三角矩阵当且仅当其主对角线上的系数都为1。单位三角矩阵都是幺幂矩阵。

高斯矩阵

高斯矩阵是是单位三角矩阵中的一种,除了一列的系数以外,其他系数都是零。这类矩阵是高斯消元法中基本操作的矩阵体现,因此也叫做基元矩阵或高斯变换矩阵。一个下三角的高斯矩阵为:

L_i=
{\begin{bmatrix} 1&&&…&&&&0\\ 0&\ddots &&&&&&\\ 0&\ddots &1&&&&&\\ 0&\ddots&0&1&&&&\\ &&0&l_{{i+1,i}}&1&&&\\ \vdots &&0&l_{{i+2,i}}&0&\ddots &&\\ &&\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &1&\\ 0&\dots &0&l_{{n,i}}&0&\dots &0&1\\ \end{bmatrix}}.
高斯矩阵的逆仍然是高斯矩阵。实际上,

L_{i}^{-1}=
{\begin{bmatrix} 1&&&&&&&0\\ 0&\ddots &&&&&&\\ 0&\ddots &1&&&&&\\ 0&\ddots &0&1&&&&\\ &&0&-l_{{i+1,i}}&1&&&\\ \vdots &&0&-l_{{i+2,i}}&0&\ddots &&\\ &&\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &1&\\ 0&\dots &0&-l_{{n,i}}&0&\dots &0&1\\ \end{bmatrix}},
即是说一个高斯矩阵的逆是将其非对角线上元素加上负号后得到的矩阵。

三角矩阵的性质

一个同时是上三角矩阵和下三角矩阵的矩阵必然是对角矩阵单位矩阵是唯一同时为单位上三角矩阵和单位下三角矩阵的矩阵。

分别计算乘积A*A 与 AA*的系数并进行比较后就可以发现:一个同时为三角矩阵和正规矩阵的矩阵也必然是对角矩阵(因为正规矩阵满足A^* A=’AA^*)。

上三角矩阵的转置矩阵是下三角矩阵,反之亦然。

三角矩阵的行列式等于其对角线上所有元素之乘积。对于三角矩阵A,其特征多项式xI-A也是三角矩阵。三角矩阵的对角线元素的集合实际上是它的特征值的集合(其重数为在特征多项式中的重数)。

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