初等矩阵|极客教程

线性代数中，初等矩阵（又称为基本矩阵）是一个与单位矩阵只有微小区别的矩阵。具体来说，一个n阶单位矩阵E经过一次初等行变换或一次初等列变换所得矩阵称为n阶初等矩阵.

初等矩阵的操作

初等矩阵分为3种类型，分别对应着3种不同的行/列变换。

两行（列）互换：
$R_i \leftrightarrow R_j$
把某行（列）乘以一非零常数：
$kR_i \rightarrow R_i$ ,\ 其中 $k \neq 0$
把第i行（列）加上第j行（列）的k倍：
$R_i + kR_j \rightarrow R_i$
初等矩阵即是将上述3种初等变换应用于一单位矩阵的结果。以下只讨论对某行的变换，列变换可以类推。

行互换

这一变换 $T_{ij}$ ，将一单位矩阵的第i行的所有元素与第j行互换。

$T_{i,j} = \begin{bmatrix} 1&&&&&&&\\ & \ddots&&&&&& \\ &&0&& 1&& \\ &&& \ddots&&&& \\ &&1&& 0&& \\&&&&&& \ddots&\\ &&&&&&& 1\end{bmatrix}\quad$
性质
逆矩阵即自身： $T_{ij}^{-1} = T_{ij}$ 。
因为单位矩阵的行列式为1，故 $|T_{ij}|=-1$ 。与其他相同大小的方阵A亦有以下性质： $|T_{ij}A|=-|A|$ 。

把某行乘以一非零常数

这一变换 $Ti（m）$ ，将第i行的所有元素乘以一非零常数m。

$T_i (m) = \begin{bmatrix} 1&&&&&& \\&\ddots&&&&&\\ &&1&&&& \\ &&& m&&&\\ &&&&1&& \\ &&&&& \ddots&\\ &&&&&&1\end{bmatrix}\quad$
性质
逆矩阵为 $T_{i}(m)^{-1} = T_{i}(\frac{1}{m})$ 。
此矩阵及其逆矩阵均为对角矩阵。
其行列式 $|T_{i}(m)|=m$ 。故对于一等大方阵A有 $|T_{i}(m)A|=m|A|$ 。

把第i行加上第j行的m倍

这一变换 $T_{ij}（m）$ ，将第i行加上第j行的m倍。

$T_{i,j}(m) = \begin{bmatrix} 1&&&&&&&\\ & \ddots&&&&&& \\ &&1&&&&&\\ &&& \ddots&&&& \\ &&m&& 1&& \\ &&&&&&\ddots&\\ &&&&&&& 1\end{bmatrix}$
性质
逆矩阵具有性质 $T_{ij}(m)^{-1}=T_{ij}(-m)$ 。
此矩阵及其逆矩阵均为三角矩阵。
$|T_{ij}(m)|=1$ 。故对于一等大方阵A有： $|T_{ij}(m)A| = |A|$ 。