初等矩阵

线性代数中,初等矩阵(又称为基本矩阵)是一个与单位矩阵只有微小区别的矩阵。具体来说,一个n阶单位矩阵E经过一次初等行变换或一次初等列变换所得矩阵称为n阶初等矩阵.

初等矩阵的操作

初等矩阵分为3种类型,分别对应着3种不同的行/列变换。

两行(列)互换:
R_i \leftrightarrow R_j
把某行(列)乘以一非零常数:
kR_i \rightarrow R_i,\ 其中 k \neq 0
把第i行(列)加上第j行(列)的k倍:
R_i + kR_j \rightarrow R_i
初等矩阵即是将上述3种初等变换应用于一单位矩阵的结果。以下只讨论对某行的变换,列变换可以类推。

行互换

这一变换T_{ij},将一单位矩阵的第i行的所有元素与第j行互换。

T_{i,j} = \begin{bmatrix} 1 & & & & & & & \\ & \ddots & & & & & & \\ & & 0 & & 1 & & \\ & & & \ddots & & & & \\ & & 1 & & 0 & & \\ & & & & & & \ddots & \\ & & & & & & & 1\end{bmatrix}\quad
性质
逆矩阵即自身:T_{ij}^{-1} = T_{ij}
因为单位矩阵的行列式为1,故|T_{ij}|=-1。与其他相同大小的方阵A亦有以下性质:|T_{ij}A|=-|A|

把某行乘以一非零常数

这一变换Ti(m),将第i行的所有元素乘以一非零常数m。

T_i (m) = \begin{bmatrix} 1 & & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 1 & & & & \\ & & & m & & & \\ & & & & 1 & & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 1\end{bmatrix}\quad
性质
逆矩阵为T_{i}(m)^{-1} = T_{i}(\frac{1}{m})
此矩阵及其逆矩阵均为对角矩阵。
其行列式|T_{i}(m)|=m。故对于一等大方阵A有|T_{i}(m)A|=m|A|

把第i行加上第j行的m倍

这一变换T_{ij}(m),将第i行加上第j行的m倍。

T_{i,j}(m) = \begin{bmatrix} 1 & & & & & & & \\ & \ddots & & & & & & \\ & & 1 & & & & & \\ & & & \ddots & & & & \\ & & m & & 1 & & \\ & & & & & & \ddots & \\ & & & & & & & 1\end{bmatrix}
性质
逆矩阵具有性质T_{ij}(m)^{-1}=T_{ij}(-m)
此矩阵及其逆矩阵均为三角矩阵
|T_{ij}(m)|=1。故对于一等大方阵A有:|T_{ij}(m)A| = |A|

初等矩阵的应用

在解线性方程组中的应用
初等行变换不影响线性方程组的解,也可用于高斯消元法,用于逐渐将系数矩阵化为标准形。初等行变换不改变矩阵的核(故不改变解集),但改变了矩阵的像。反过来,初等列变换没有改变像却改变了核。

用于求解一个矩阵的逆矩阵
有的时候,当矩阵的阶数比较高的时候,使用其行列式的值和伴随矩阵求解其逆矩阵会产生较大的计算量。这时,通常使用将原矩阵和相同行数(也等于列数)的单位矩阵并排,再使用初等变换的方法将这个并排矩阵的左边化为单位矩阵,这时,右边的矩阵即为原矩阵的逆矩阵。

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