初等矩阵

线性代数中，初等矩阵（又称为基本矩阵）是一个与单位矩阵只有微小区别的矩阵。具体来说，一个n阶单位矩阵E经过一次初等行变换或一次初等列变换所得矩阵称为n阶初等矩阵.

初等矩阵的操作

初等矩阵分为3种类型，分别对应着3种不同的行/列变换。

两行（列）互换：
$$R_i \leftrightarrow R_j$$
把某行（列）乘以一非零常数：
$$kR_i \rightarrow R_i$$,\ 其中$$k \neq 0$$
把第i行（列）加上第j行（列）的k倍：
$$R_i + kR_j \rightarrow R_i$$
初等矩阵即是将上述3种初等变换应用于一单位矩阵的结果。以下只讨论对某行的变换，列变换可以类推。

行互换

这一变换$$T_{ij}$$，将一单位矩阵的第i行的所有元素与第j行互换。

$$T_{i,j} = \begin{bmatrix} 1&&&&&&&\\ & \ddots&&&&&& \\ &&0&& 1&& \\ &&& \ddots&&&& \\ &&1&& 0&& \\&&&&&& \ddots&\\ &&&&&&& 1\end{bmatrix}\quad$$
性质
逆矩阵即自身：$$T_{ij}^{-1} = T_{ij}$$。
因为单位矩阵的行列式为1，故$$|T_{ij}|=-1$$。与其他相同大小的方阵A亦有以下性质：$$|T_{ij}A|=-|A|$$。

把某行乘以一非零常数

这一变换$$Ti（m）$$，将第i行的所有元素乘以一非零常数m。

$$T_i (m) = \begin{bmatrix} 1&&&&&& \\&\ddots&&&&&\\ &&1&&&& \\ &&& m&&&\\ &&&&1&& \\ &&&&& \ddots&\\ &&&&&&1\end{bmatrix}\quad$$
性质
逆矩阵为$$T_{i}(m)^{-1} = T_{i}(\frac{1}{m})$$。
此矩阵及其逆矩阵均为对角矩阵。
其行列式$$|T_{i}(m)|=m$$。故对于一等大方阵A有$$|T_{i}(m)A|=m|A|$$。

把第i行加上第j行的m倍

这一变换$$T_{ij}（m）$$，将第i行加上第j行的m倍。

$$T_{i,j}(m) = \begin{bmatrix} 1&&&&&&&\\ & \ddots&&&&&& \\ &&1&&&&&\\ &&& \ddots&&&& \\ &&m&& 1&& \\ &&&&&&\ddots&\\ &&&&&&& 1\end{bmatrix}$$
性质
逆矩阵具有性质$$T_{ij}(m)^{-1}=T_{ij}(-m)$$。
此矩阵及其逆矩阵均为三角矩阵。
$$|T_{ij}(m)|=1$$。故对于一等大方阵A有：$$|T_{ij}(m)A| = |A|$$。

初等矩阵的应用

在解线性方程组中的应用
初等行变换不影响线性方程组的解，也可用于高斯消元法，用于逐渐将系数矩阵化为标准形。初等行变换不改变矩阵的核（故不改变解集），但改变了矩阵的像。反过来，初等列变换没有改变像却改变了核。

用于求解一个矩阵的逆矩阵
有的时候，当矩阵的阶数比较高的时候，使用其行列式的值和伴随矩阵求解其逆矩阵会产生较大的计算量。这时，通常使用将原矩阵和相同行数（也等于列数）的单位矩阵并排，再使用初等变换的方法将这个并排矩阵的左边化为单位矩阵，这时，右边的矩阵即为原矩阵的逆矩阵。