转置矩阵

在线性代数中，矩阵A的转置是另一个矩阵$$A^T$$（也写做$$A^{tr}, 或A′$$）由下列等价动作建立：

• 把A的横行写为$$A^T$$的纵列
• 把A的纵列写为$$A^T$$的横行
  形式上说，$$m × n$$矩阵A的转置是$$n × m$$矩阵

$$A_{ij}^{\mathrm {T} }=A_{ji}$$ for $$1\leq i\leq n$$, $$1\leq j\leq m$$。
注意：$${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {T} }}$$（转置矩阵）与$$\mathbf {A} ^{-1}$$（逆矩阵）不同。

转置矩阵的例子

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}}$$
$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}}$$

转置矩阵的性质

对于矩阵A, B和标量c转置有下列性质：

$$\left(A^{\mathrm {T} }\right)^{\mathrm {T} }=A\quad$$
转置是自身逆运算。
$$(A+B)^{\mathrm {T} }=A^{\mathrm {T} }+B^{\mathrm {T} }$$
转置是从m × n矩阵的向量空间到所有n × m矩阵的向量空间的线性映射。
$$\left(AB\right)^{\mathrm {T} }=B^{\mathrm {T} }A^{\mathrm {T} }$$
注意因子反转的次序。以此可推出方块矩阵A是可逆矩阵，当且仅当$$A^T$$是可逆矩阵，在这种情况下有$$(A^{−1})^T = (A^T)^{−1}$$。相对容易的把这个结果扩展到矩阵相乘的一般情况，可得出 $$(ABC…XYZ)^T = Z^TY^TX^T…C^TB^TA^T$$。
$$(cA)^{\mathrm {T} }=cA^{\mathrm {T} }$$
标量的转置是同样的标量。
$$\det(A^{\mathrm {T} })=\det(A)$$
矩阵的转置矩阵的行列式等于这个矩阵的行列式。
两个纵列向量a和b的点积可计算为
$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\mathbf {b} }$$
如果A只有实数元素，则$$A^TA$$是正半定矩阵。
如果A是在某个域上，则A 相似于$$A^T$$。

特殊转置矩阵

其转置等于自身的方块矩阵叫做对称矩阵；就是说A是对称的，如果

$$A^{\mathrm {T} }=A$$。
其转置也是它的逆矩阵的方块矩阵叫做正交矩阵；就是说G是正交的，如果

$$GG^{\mathrm {T} }=G^{\mathrm {T} }G=I_{n}$$, $$I$$是单位矩阵。
其转置等于它的负矩阵的方块矩阵叫做斜对称矩阵；就是A是斜对称的，如果

$$A^{\mathrm {T} }=-A$$。
复数矩阵A的共轭转置，写为AH，是A的转置后再取每个元素的共轭复数:

$$A^{H}=({\overline {A}})^{\mathrm {T} }={\overline {(A^{\mathrm {T} })}}$$