转置矩阵

在线性代数中,矩阵A的转置是另一个矩阵A^T(也写做A^{tr}, 或A′)由下列等价动作建立:

  • 把A的横行写为A^T的纵列
  • 把A的纵列写为A^T的横行
    形式上说,m × n矩阵A的转置是n × m矩阵

A_{ij}^{\mathrm {T} }=A_{ji} for 1\leq i\leq n, 1\leq j\leq m
注意:{\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {T} }}(转置矩阵)与\mathbf {A} ^{-1}(逆矩阵)不同。

转置矩阵的例子

{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}}
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}}

转置矩阵的性质

对于矩阵A, B和标量c转置有下列性质:

\left(A^{\mathrm {T} }\right)^{\mathrm {T} }=A\quad
转置是自身逆运算。
(A+B)^{\mathrm {T} }=A^{\mathrm {T} }+B^{\mathrm {T} }
转置是从m × n矩阵的向量空间到所有n × m矩阵的向量空间的线性映射。
\left(AB\right)^{\mathrm {T} }=B^{\mathrm {T} }A^{\mathrm {T} }
注意因子反转的次序。以此可推出方块矩阵A是可逆矩阵,当且仅当A^T是可逆矩阵,在这种情况下有 (A^{−1})^T = (A^T)^{−1}。相对容易的把这个结果扩展到矩阵相乘的一般情况,可得出 (ABC…XYZ)^T = Z^TY^TX^T…C^TB^TA^T
(cA)^{\mathrm {T} }=cA^{\mathrm {T} }
标量的转置是同样的标量。
\det(A^{\mathrm {T} })=\det(A)
矩阵的转置矩阵的行列式等于这个矩阵的行列式。
两个纵列向量a和b的点积可计算为
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\mathbf {b} }
如果A只有实数元素,则A^TA是正半定矩阵。
如果A是在某个域上,则A 相似于A^T

特殊转置矩阵

其转置等于自身的方块矩阵叫做对称矩阵;就是说A是对称的,如果

A^{\mathrm {T} }=A
其转置也是它的逆矩阵的方块矩阵叫做正交矩阵;就是说G是正交的,如果

GG^{\mathrm {T} }=G^{\mathrm {T} }G=I_{n}, I单位矩阵
其转置等于它的负矩阵的方块矩阵叫做斜对称矩阵;就是A是斜对称的,如果

A^{\mathrm {T} }=-A
复数矩阵A的共轭转置,写为AH,是A的转置后再取每个元素的共轭复数:

A^{H}=({\overline {A}})^{\mathrm {T} }={\overline {(A^{\mathrm {T} })}}

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