埃尔米特矩阵

埃尔米特矩阵(英语:Hermitian matrix,又译作厄米特矩阵,厄米矩阵),也称自伴随矩阵,是共轭对称的方阵。埃尔米特矩阵中每一个第i行第j列的元素都与第j行第i列的元素的复共轭。

对于

A={a_{{i,j}}}\in C^{{n\times n}}
有:

a_{{i,j}}=\overline {a_{{j,i}}},其中\overline{(\cdot)}为共轭算子。
记做:

A=A^{H}\quad
例如:

{\begin{bmatrix}3&2+i\\2-i&1\end{bmatrix}}
就是一个埃尔米特矩阵。

显然,埃尔米特矩阵主对角线上的元素都是实数的,其特征值也是实数。对于只包含实数元素的矩阵(实矩阵),如果它是对称阵,即所有元素关于主对角线对称,那么它也是埃尔米特矩阵。也就是说,实对称矩阵是埃尔米特矩阵的特例。

埃尔米特矩阵的性质

若A和B是埃尔米特矩阵,那么它们的和A+B也是埃尔米特矩阵;而只有在A和B满足交换性(即AB = BA)时,它们的积才是埃尔米特矩阵。
可逆的埃尔米特矩阵A的逆矩阵A^{-1}仍然是埃尔米特矩阵。
如果A是埃尔米特矩阵,对于正整数n,A^n是埃尔米特矩阵。
方阵C与其共轭转置的和C+(C^{*})是埃尔米特矩阵,
方阵C与其共轭转置的差C-C^{*}是斜埃尔米特矩阵。
任意方阵C都可以用一个埃尔米特矩阵A与一个斜埃尔米特矩阵B的和表示:
埃尔米特矩阵

埃尔米特矩阵是正规矩阵,因此埃尔米特矩阵可被酉对角化,而且得到的对角阵的元素都是实数。这意味着埃尔米特矩阵的特征值都是实的,而且不同的特征值所对应的特征向量相互正交,因此可以在这些特征向量中找出一组Cn的正交基。
n-阶埃尔米特矩阵的元素构成维数为n2的实向量空间,因为主对角线上的元素有一个自由度,而主对角线之上的元素有两个自由度。
如果埃尔米特矩阵的特征值都是正数,那么这个矩阵是正定矩阵,若它们是非负的,则这个矩阵是半正定矩阵。

埃尔米特序列

埃尔米特序列(亦或埃尔米特向量)指满足下列条件的序列ak(其中k = 0, 1,…, n):

埃尔米特矩阵
若n是偶数,则a_{n/2}是实数。

实数序列的离散傅里叶变换是埃尔米特序列。反之,一个埃尔米特序列的逆离散傅里叶变换是实序列。

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