矩阵乘法(英语:matrix multiplication)是一种根据两个矩阵得到第三个矩阵的二元运算,第三个矩阵即前两者的乘积,称为矩阵积(英语:matrix product)。设A是n×m的矩阵,B是m×p的矩阵,则它们的矩阵积AB是n×p的矩阵。A中每一行的m个元素都与B中对应列的m个元素对应相乘,这些乘积的和就是AB中的一个元素。
矩阵可以用来表示线性映射,矩阵积则可以用来表示线性映射的复合。因此,矩阵乘法是线性代数的基础工具,不仅在数学中有大量应用,在应用数学、物理学、工程学等领域也有广泛使用。
矩阵交换律
矩阵乘法的两个重要性质: 一,矩阵乘法不满足交换律;二,矩阵乘法满足结合律。为什么矩阵乘法不满足交换律呢?这是由矩阵乘法定义决定的。因为矩阵AB=C,C的结果是由A的行与B的列相乘和的结果;而BA=D,D的结果是由B的行与A的列相乘和的结果。显然,得到的结果C和D不一定相等。同时,交换后两个矩阵有可能不能相乘。为什么它又满足结合律呢?假设你有三个矩阵A、B、C,那么(AB)C和A(BC)的结果的第i行第j列上的数都等于所有Aik∗Bkl∗Clj的和(枚举所有的k和l)。
矩阵乘法公式
满足结合律:
A(BC)=(AB)C
满足分配律:
A(B+C)=AB+AC
(A+B)C=AC+BC
和标量乘积相容:
c(AB)=(cA)B
(Ac)B=A(cB)
(AB)c=A(Bc)
矩阵乘法怎么算
矩阵相乘最重要的方法是一般矩阵乘积。它只有在第一个矩阵的列数(column)和第二个矩阵的行数(row)相同时才有定义。一般单指矩阵乘积时,指的便是一般矩阵乘积。若A为m×n矩阵,B为n×p矩阵,则他们的乘积AB(有时记做A⋅B)会是一个m×p矩阵。其乘积矩阵的元素如下面式子得出:

以上是用矩阵单元的代数系统来说明这类乘法的抽象性质。本节以下各种运算法都是这个公式的不同角度理解,运算结果相等:
由定义直接计算

上边的图表示出要如何计算AB的(1,2)和 (3,3)元素,当A是个4×2矩阵和B是个2×3矩阵时。分别来自两个矩阵的元素都依箭头方向而两两配对,把每一对中的两个元素相乘,再把这些乘积加总起来,最后得到的值即为箭头相交位置的值。


向量方法
这种矩阵乘积亦可由稍微不同的观点来思考:把向量和各系数相乘后相加起来。设A和B 是两个给定如下的矩阵:
A=⎣⎡a1,1a2,1⋮a1,2a2,2⋮……⋱⎦⎤
B=⎣⎡b1,1b2,1⋮b1,2b2,2⋮……⋱⎦⎤
则

举个例子来说:
[1−10321]⋅⎣⎡321110⎦⎤=
[1[31]+0[21]+2[10]−1[31]+3[21]+1[10]]=
[[31]+[00]+[20][−3−1]+[63]+[10]]
=[5412]
左面矩阵的列为为系数表,右边矩阵为向量表。例如,第一行是[1 0 2],因此将1乘上第一个向量,0乘上第二个向量,2则乘上第三个向量。
向量表方法
一般矩阵乘积也可以想为是行向量和列向量的内积。若A和B 为给定如下的矩阵:
A=⎣⎡a1,1a2,1a3,1⋮a1,2a2,2a3,2⋮a1,3a2,3a3,3⋮………⋱⎦⎤=⎣⎡A1A2A3⋮⎦⎤且
B=⎣⎡b1,1b2,1b3,1⋮b1,2b2,2b3,2⋮b1,3b2,3b3,3⋮………⋱⎦⎤=[B1B2B3…]
其中
A1是由所有a1,x元素所组成的向量,A2是由所有a2,x元素所组成的向量,以此类推。
B1是由所有bx,1元素所组成的向量,B2是由所有bx,2元素所组成的向量,以此类推。
则
