矩阵乘法|极客教程

矩阵乘法（英语：matrix multiplication）是一种根据两个矩阵得到第三个矩阵的二元运算，第三个矩阵即前两者的乘积，称为矩阵积（英语：matrix product）。设 $A$ 是 $n\times m$ 的矩阵， $B$ 是 $m\times p$ 的矩阵，则它们的矩阵积 $AB$ 是 $n\times p$ 的矩阵。 $A$ 中每一行的 $m$ 个元素都与 $B$ 中对应列的 $m$ 个元素对应相乘，这些乘积的和就是 $AB$ 中的一个元素。

矩阵可以用来表示线性映射，矩阵积则可以用来表示线性映射的复合。因此，矩阵乘法是线性代数的基础工具，不仅在数学中有大量应用，在应用数学、物理学、工程学等领域也有广泛使用。

矩阵交换律

矩阵乘法的两个重要性质: 一，矩阵乘法不满足交换律;二，矩阵乘法满足结合律。为什么矩阵乘法不满足交换律呢?这是由矩阵乘法定义决定的。因为矩阵AB=C，C的结果是由A的行与B的列相乘和的结果;而BA=D，D的结果是由B的行与A的列相乘和的结果。显然，得到的结果C和D不一定相等。同时，交换后两个矩阵有可能不能相乘。为什么它又满足结合律呢?假设你有三个矩阵A、B、C，那么(AB)C和A(BC)的结果的第i行第j列上的数都等于所有 $A_{ik}*B_{kl}*C_{lj}$ 的和(枚举所有的k和l)。

矩阵乘法公式

满足结合律：

${\displaystyle A(BC)=(AB)C}$
满足分配律：

${\displaystyle A(B+C)=AB+AC}$
${\displaystyle (A+B)C=AC+BC}$
和标量乘积相容：

${\displaystyle c(AB)=(cA)B}$
${\displaystyle (Ac)B=A(cB)}$
${\displaystyle (AB)c=A(Bc)}$

矩阵乘法怎么算

矩阵相乘最重要的方法是一般矩阵乘积。它只有在第一个矩阵的列数（column）和第二个矩阵的行数（row）相同时才有定义。一般单指矩阵乘积时，指的便是一般矩阵乘积。若 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵， $B$ 为 $n\times p$ 矩阵，则他们的乘积 $AB$ (有时记做 $A\cdot B$ ）会是一个 $m\times p$ 矩阵。其乘积矩阵的元素如下面式子得出：
矩阵乘法

以上是用矩阵单元的代数系统来说明这类乘法的抽象性质。本节以下各种运算法都是这个公式的不同角度理解，运算结果相等：

由定义直接计算

矩阵乘法
上边的图表示出要如何计算 $AB$ 的(1,2)和 (3,3)元素，当 $A$ 是个 $4\times 2$ 矩阵和B是个 $2\times 3$ 矩阵时。分别来自两个矩阵的元素都依箭头方向而两两配对，把每一对中的两个元素相乘，再把这些乘积加总起来，最后得到的值即为箭头相交位置的值。
矩阵乘法

向量方法

这种矩阵乘积亦可由稍微不同的观点来思考：把向量和各系数相乘后相加起来。设 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf {B}$ 是两个给定如下的矩阵：

${\mathbf {A}}={\begin{bmatrix}a_{{1,1}}&a_{{1,2}}&\dots \\ a_{{2,1}}&a_{{2,2}}&\dots \\ \vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}$

${\mathbf {B}}={\begin{bmatrix} b_{{1,1}}&b_{{1,2}}&\dots \\ b_{{2,1}}&b_{{2,2}}&\dots \\\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}$
则
矩阵乘法
举个例子来说：
${\begin{bmatrix} 1&0&2\\ -1&3&1 \end{bmatrix}} \cdot {\begin{bmatrix} 3&1\\2&1\\1&0 \end{bmatrix}}$ =
${\begin{bmatrix} 1{\begin{bmatrix}3&1\end{bmatrix}} +0{\begin{bmatrix}2&1\end{bmatrix}} +2{\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}}\\ -1{\begin{bmatrix}3&1\end{bmatrix}} +3{\begin{bmatrix}2&1\end{bmatrix}} +1{\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}} \end{bmatrix}}$ =
${\begin{bmatrix}{\begin{bmatrix}3&1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2&0\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}-3&-1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}6&3\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}} \end{bmatrix}}$
= ${\begin{bmatrix}5&1\\4&2\end{bmatrix}}$
左面矩阵的列为为系数表，右边矩阵为向量表。例如，第一行是[1 0 2]，因此将1乘上第一个向量，0乘上第二个向量，2则乘上第三个向量。

向量表方法

一般矩阵乘积也可以想为是行向量和列向量的内积。若 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf {B}$ 为给定如下的矩阵：

${\mathbf {A}}={\begin{bmatrix} a_{{1,1}}&a_{{1,2}}&a_{{1,3}}&\dots \\ a_{{2,1}}&a_{{2,2}}&a_{{2,3}}&\dots \\ a_{{3,1}}&a_{{3,2}}&a_{{3,3}}&\dots \\ \vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}$ = ${\begin{bmatrix} A_{1}\\A_{2}\\A_{3}\\ \vdots \end{bmatrix}}$ 且
${\mathbf {B}}={\begin{bmatrix}b_{{1,1}}&b_{{1,2}}&b_{{1,3}}&\dots \\ b_{{2,1}}&b_{{2,2}}&b_{{2,3}}&\dots \\ b_{{3,1}}&b_{{3,2}}&b_{{3,3}}&\dots \\ \vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}$ = ${\begin{bmatrix}B_{1}&B_{2}&B_{3}&\dots \end{bmatrix}}$
其中