对角矩阵

对角矩阵（英语：diagonal matrix）是一个主对角线之外的元素皆为0的矩阵。对角线上的元素可以为0或其他值。因此n行n列的矩阵$$\mathbf {D} = (di,j)$$若符合以下的性质：

$${ d_{i,j}=0 ,{ if i\neq j},\forall i,j\in {1,2,\ldots ,n}}$$

则矩阵$$\mathbf {D}$$ 为对角矩阵。

对角矩阵的例子

$${\begin{pmatrix} a&0&0\\0&b&0\\0&0&c \end{pmatrix} },$$

$${\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&2&0\\0&0&0 \end{pmatrix}}$$,
$${\begin{pmatrix}1&0\\0&7\end{pmatrix}}$$,$${\begin{pmatrix} 2 \end{pmatrix}}$$

均为对角矩阵

对角矩阵运算

对角矩阵加法

$${\begin{bmatrix}a_{1}&&&\\&a_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&a_{n}\end{bmatrix}}$$
+$${\begin{bmatrix}b_{1}&&&\\&b_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&b_{n}\end{bmatrix}}$$=$${\begin{bmatrix}a_{1}+b_{1}&&&\\&a_{2}+b_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&a_{n}+b_{n}\end{bmatrix}}$$

对角矩阵乘法

$${\begin{bmatrix}a_{1}&&&\\&a_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}&&&\\&b_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&b_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&&&\\&a_{2}b_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&a_{n}b_{n}\end{bmatrix}}$$

逆矩阵

$${\begin{bmatrix}a_{1}&&&\\&a_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&a_{n}\end{bmatrix}}^{{-1}}={\begin{bmatrix}a_{1}^{{-1}}&&&\\&a_{2}^{{-1}}&&\\&&\ddots &\\&&&a_{n}^{{-1}}\end{bmatrix}}$$当且仅当 $$a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}$$ 均不为零。

对角矩阵的性质

• 对角矩阵都是对称矩阵。
• 对角矩阵是上三角矩阵及下三角矩阵。
• 单位矩阵 $${\mathbf {I}_{n}}$$ 及零矩阵恒为对角矩阵。一维的矩阵也恒为对角矩阵。
• 一个对角线上元素皆相等的对角矩阵是数量矩阵，可表示为单位矩阵及一个系数 $$\lambda$$ 的乘积 $${\lambda \mathbf {I}_{n}}$$。
• 一对角矩阵diag($$a_1,…,a_n$$)的特征值为 $${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$$，其特征向量为单位向量 $$e_1,…,e_n$$。
• 一对角矩阵diag($$a_1,…,a_n$$)的行列式为其特征值的乘积，即 $${\displaystyle \prod_{i=1}^{n}a_{i}}$$。