矩阵

矩阵在线性代数中起着中心作用。它们可以用来简洁地表示线性方程组，但是它们也可以表示线性函数(线性映射)。在讨论这些有趣的主题之前，让我们先定义什么是矩阵以及我们可以用矩阵做什么运算。我们将在后续文章中看到矩阵的更多性质。

矩阵(Matrix):对于m, n∈n，一个实值(m, n)矩阵A为元素$$a_{ij}$$的$$m·n元组，i = 1，…， m, j = 1，…， n$$,它按照由m行和n列组成的矩形格式排序:
$$A= \begin{bmatrix} a_{11}&…&a_{1n} \\ a_{21}& &a_{2n} \\ .& &. \\ .& &. \\ a_{m1}&…& a_{mn} \end{bmatrix}, a_{ij}∈ R$$

按照惯例(1,n)-矩阵称为矩阵行，(m, 1)-矩阵称为矩阵列。这些特殊的矩阵也称为行/列向量。

$$R^{m×n}$$ 是所有实值(m, n)矩阵的集合。A∈$$R^{m×n}$$可以等价地表示为$$a∈R^{mn}$$，方法是将矩阵的所有n列叠加成一个长向量;见图1:
通过叠加列向量，矩阵A可以表示为一个长向量a：

图1

矩阵加法与乘法

两个矩阵$$A∈R^{m×n}$$,$$B∈R^{m×n}$$的和定义为元素和，即:
$$A+B:= \begin{bmatrix} a_{11}+b_{11}&…&a_{1n}+b_{1n} \\ .&&. \\ .&&. \\ .&&. \\ a_{m1}+b{m1}&…& a_{mn}+b_{mn} \end{bmatrix}∈R^{m×n}$$

对于矩阵$$A∈R^{m×n}$$和$$B∈R^{n×k}$$，C=AB∈$$R^{m×k}$$的元素$$c_{ij}$$被计算为：
$$c_{ij}=\sum_{l=1}^Na_{il}b_{lj}$$,i=1,…m;j=1,…,k。
那就是说，为了计算$$c_{ij}$$,我们把A的第i行和B的第j列的元素相乘，然后求和。我们称它为对应行和列的点积。在在某些情况下，我们需要显式地证明我们在做乘法，我们使用符号A·B表示乘法(显式显示“·”)。
注意，矩阵只有在其“相邻”维数下才能相乘匹配。例如，一个n×k矩阵A可以与一个k×m矩阵B相乘，但只能从左边:

如果$$m \not= n$$，乘积BA没有定义，因为相邻维数不匹配。

注意，矩阵乘法不定义为对矩阵元素的元素操作，即， $$c_{ij} \not= a_{ij}b_{ij}$$(即使 A、B 的大小被适当选择)。

例1：

从这个例子中，我们已经看到矩阵乘法是不可交换的。
例如：$$AB \not= BA$$。

单位矩阵：在$$R^{n×n}$$里，我们把单位矩阵定义为n×n矩阵，对角线上包含1，其它地方都为0。

现在我们定义了矩阵乘法，矩阵加法和单位矩阵，让我们看看矩阵的一些性质:
结合律:
$$∀A ∈ R^{m×n}, B ∈ R^{n×p}, C ∈ R^{p×q}: (AB)C = A(BC)$$

分配律:
$$∀A, B ∈ R^{m×n}, C, D ∈ R^{n×p}: (A + B)C = AC + BC,A(C + D) = AC + AD$$

与单位矩阵相乘:
$$∀A ∈ R^{m×n}: I_m A = AI_n = A$$
注意： $$I_m \not= I_n ,m \not= n$$

逆和转置

逆(Inverse):假设一个方阵$$A∈R^{n×n}$$，令矩阵$$B∈R^{n×n}$$具有$$AB = I_n = BA$$的性质，则B称为A的逆，用$$A^{-1}$$表示。

不幸的是，并不是每个矩阵A都有一个逆矩阵$$A^{-1}$$。如果这个逆确实存在，那么A叫做正则的/可逆的/非奇异的，否则就是奇异的/非可逆的。当矩阵逆存在时，它是唯一的。在下一节中，我们将讨论通过解线性方程组来计算矩阵逆的一般方法。
让我们来看矩阵
$$A:= \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12} \\ a_{21}&a_{22} \end{bmatrix}∈R^{2×2}$$,$$B:= \begin{bmatrix} a_{22}&-a_{12} \\ -a_{21}&a_{11} \end{bmatrix}$$
让A与B相乘得到：
$$AB:= \begin{bmatrix} a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}&0 \\ 0&a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} \end{bmatrix} = (a_{11}a_{22} − a_{12}a_{21})I$$。因此：
$$A^{-1} =\frac{1}{a_{11}a_{22} − a_{12}a_{21}} \begin{bmatrix} a_{22}&-a_{12} \\ -a_{21}&a_{11} \end{bmatrix}$$
当且仅当$$a_{11}a_{22}−a_{12}a_{21} \not = 0$$。在后续文章中，我们将看到$$a_{11}a_{22}−a_{12}a_{21}$$是一个2×2矩阵的行列式。此外，我们通常可以用行列式检查矩阵是否可逆。
例如：
由于AB = I = BA，这两个矩阵互为逆:
$$A= \begin{bmatrix} 1&2&1 \\ 4&4&5 \\ 6&7&7 \end{bmatrix}$$,$$B= \begin{bmatrix} -7&-7&6 \\ 2&1&-1 \\ 4&5&-4 \end{bmatrix}$$

转置(Transpose):对于矩阵$$A ∈ R^{m×n}$$来说，如果有矩阵 $$B ∈ R^{n×m}$$且$$b_{ij}=a_{ji}$$,那么B叫做A的转置，记作$$B = A^T$$。
一般来说，$$A^T$$可以通过将A的列作为行来得到$$A^T$$。下面是逆变换的重要性质：
$$AA^{−1} = I = A^{−1}A \\ (AB)^{−1} = B^{−1}A^{−1} \\ (A + B)^{−1}\not= A^{−1} + B^{−1} \\ (A^T)^T = A \\ (A + B)^T = A^T + B^T \\ (AB)^T = B^TA^T$$

对称矩阵,如果$$A = A^T$$,那么矩阵$$A ∈ R^{n×n}$$是对称的。
注意，只有(n, n)-矩阵是对称的。通常，我们称(n, n)矩阵为方阵，因为它们具有相同的行数和列数。而且，如果A是可逆的，那么$$A^T$$也是可逆的,且
$$(A^{-1})^T =(A^T)^{-1}:=A^{-T}$$。
注(对称矩阵的和与积)。对称矩阵$$A, B∈R^{n×n}$$的和总是对称的。然而，尽管他们的乘积总是被定义的，但是它通常不是对称的:
$$\begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&1 \\ 0&0 \end{bmatrix}$$

标量乘法

让我们看看当矩阵与一个标量λ ∈ R相乘会发生什么。设置$$A ∈ R^{m×n}$$ and λ ∈ R,则$$λA = K, K_{ij} = λa_{ij}$$。实际上，λ 缩放矩阵A的每个元素，对于λ, ψ ∈ R，以下成立：
结合律:
$$(λψ)C = λ(ψC), C ∈ R^{m×n}$$
$$λ(BC) = (λB)C = B(λC) = (BC)λ, B ∈ R^{m×n}, C ∈ R^{n×k}$$
注意，这里允许我们移动标量值。
$$(λC)^T=C^Tλ^T=C^Tλ=λC^T$$,因为$$λ = λ^T,λ ∈ R$$.

分配律:
$$(λ + ψ)C = λC + ψC, C ∈ R^{m×n} \\ λ(B + C) = λB + λC, B, C ∈ R^{m×n}$$

例如，分配律：
如果我们定义$$C:=\begin{bmatrix} 1&2 \\ 3&4 \end{bmatrix}$$,对于任何λ, ψ ∈ R，我们可以得到：

线性方程组的紧凑表示

如果我们考虑线性方程组：
$$2x_1 + 3x_2 + 5x_3 = 1 \\ 4x_1 − 2x_2 − 7x_3 = 8 \\ 9x_1 + 5x_2 − 3x_3 = 2$$
利用矩阵乘法的规则，我们可以写出这个方程以更紧凑的形式为：
$$\begin{bmatrix} 2&3&5 \\ 4&-2&-7 \\ 9&5&-3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 8 \\ 2 \end{bmatrix}$$
注意$$x_1$$缩放第一列，$$x_2$$缩放第二列，$$x_3$$缩放第三列。
一般情况下，一个线性方程组可以用其矩阵形式简洁地表示为$$Ax = b$$。