单位矩阵和逆矩阵

本节让我们来介绍单位矩阵和逆矩阵。

现在我们已经知道了足够多的线性代数符号，可以表达下列线性方程组：

其中 A ∈ R^{m×n} 是一个已知矩阵，b ∈ R^m 是一个已知向量，x ∈ R^n 是一个我们要求解的未知向量。向量 x 的每一个元素 x_i 都是未知的。矩阵 A 的每一行和 b 中对应的元素构成一个约束。我们可以把式 Ax = b 重写为

矩阵向量乘积符号为这种形式的方程提供了更紧凑的表示。

线性代数提供了被称为矩阵逆（matrix inversion）的强大工具。对于大多数矩阵 A，我们都能通过矩阵逆解析地求解式 Ax = b 。
为了描述矩阵逆，我们首先需要定义 单位矩阵（identity matrix）的概念。任意向量和单位矩阵相乘，都不会改变。我们将保持 n 维向量不变的单位矩阵记作 I_n。形式上，I_n ∈ R_{n×n}，∀x ∈ R_n, I_nx = x.
单位矩阵的结构很简单：所有沿主对角线的元素都是 1，而所有其他位置的元素都是0。如下所示样例I_3：

矩阵 A 的 矩阵逆（matrix inversion）记作 A^{−1}，其定义的矩阵满足如下条件A^{−1}A = I_n.
现在我们可以通过以下步骤求解式 Ax = b:

当然，这取决于我们能否找到一个逆矩阵 A^{−1}。在接下来的章节中，我们会讨论逆矩阵 A^{−1} 存在的条件。
当逆矩阵A^{−1}存在时，有几种不同的算法都能找到它的闭解形式。理论上，相同的逆矩阵可用于多次求解不同向量 b 的方程。然而，逆矩阵A^{−1}主要是作为理论
工具使用的，并不会在大多数软件应用程序中实际使用。这是因为逆矩阵 A^{−1} 在数字计算机上只能表现出有限的精度，有效使用向量 b 的算法通常可以得到更精确的x。