单位矩阵和逆矩阵

本节让我们来介绍单位矩阵和逆矩阵

现在我们已经知道了足够多的线性代数符号,可以表达下列线性方程组:

Ax = b

其中 A ∈ R^{m×n} 是一个已知矩阵,b ∈ R^m 是一个已知向量,x ∈ R^n 是一个我们要求解的未知向量。向量 x 的每一个元素 x_i 都是未知的。矩阵 A 的每一行和 b 中对应的元素构成一个约束。我们可以把式 Ax = b 重写为

A_{1,:} x = b_1
A_{2,:}x = b_2
· · ·
A_{m,:}x = b_m

或者,更明确地,写作
单位矩阵和逆矩阵

矩阵向量乘积符号为这种形式的方程提供了更紧凑的表示。

线性代数提供了被称为矩阵逆(matrix inversion)的强大工具。对于大多数矩阵 A,我们都能通过矩阵逆解析地求解式 Ax = b 。
为了描述矩阵逆,我们首先需要定义 单位矩阵(identity matrix)的概念。任意向量和单位矩阵相乘,都不会改变。我们将保持 n 维向量不变的单位矩阵记作 I_n。形式上,I_nR_{n×n},∀x ∈ R_n, I_nx = x.
单位矩阵的结构很简单:所有沿主对角线的元素都是 1,而所有其他位置的元素都是0。如下所示样例I_3
单位矩阵和逆矩阵

矩阵 A 的 矩阵逆(matrix inversion)记作 A^{−1},其定义的矩阵满足如下条件A^{−1}A = I_n.
现在我们可以通过以下步骤求解式 Ax = b:
单位矩阵和逆矩阵

当然,这取决于我们能否找到一个逆矩阵 A^{−1}。在接下来的章节中,我们会讨论逆矩阵 A^{−1} 存在的条件。
当逆矩阵A^{−1}存在时,有几种不同的算法都能找到它的闭解形式。理论上,相同的逆矩阵可用于多次求解不同向量 b 的方程。然而,逆矩阵A^{−1}主要是作为理论
工具使用的,并不会在大多数软件应用程序中实际使用。这是因为逆矩阵 A^{−1} 在数字计算机上只能表现出有限的精度,有效使用向量 b 的算法通常可以得到更精确的x。

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