线性方程组

线性方程组,是线性代数的核心部分。许多问题都可以写成线性方程组，线性代数为我们提供了求解它们的工具。

例1：
A公司生产$$N_1，…，N_n$$，其中资源$$R_1，…,R_m$$是必需的。要生产一个单位的产品$$N_j$$，需要$$a_{ij}$$单位的资源$$R_i$$，其中$$i = 1，…，m和j = 1，…，n$$。
目标是找到一个最优的生产计划，即，如果资源$$R_i$$的$$b_i$$单元总数可用，并且(理想情况下)没有剩余资源，那么应该生产多少个$$x_j$$产品$$N_j$$的计划。

如果我们生产相应产品的$$x_1,…,x_n$$ 个单位，我们总共需要$$a_{i1}x_1 +…+ a_{in}x_n$$个单位的资源$$R_i$$。因此，最优生产计划$$(x_1，…，x_n)∈R_n$$必须满足以下方程组:
$$\begin{Bmatrix} a_{11} x_1 +···+ a_{1n}x_n = b_1 \\ . \\ . \\ . \\ a_{m1}x_1 +···+ a_{mn}x_n = b_m \end{Bmatrix} 方程组(1)$$
其中，$$a_{ij} ∈ R 和 b_i ∈ R$$

方程组(1)为线性方程组的一般形式，$$x_1，…，x_n$$是方程组的未知数。满足方程组(1)的每个n元组$$(x_1，…，x_n)∈R_n$$都是线性方程组的一个解。

例2：
线性方程组：
$$x_1 + x_2 + x_3 = 3 (1) \\ x_1 − x_2 + 2x_3 = 2 (2) \\ 2x_1 + 3x_3 = 1 (3)$$
无解:前两个方程相加得到$$2x_1+3x_3 = 5$$，与方程(3)相矛盾。

让我们来看看线性方程组:
$$x_1 + x_2 + x_3 = 3 (1)\\ x_1 − x_2 + 2x_3 = 2 (2) \\ x_2 + x_3 = 2 (3)$$
从第一个和第三个方程，可以推出$$x_1$$ = 1。由(1)+(2)得到$$2x_1 + 3x_3 = 5$$，即,$$x_3$$ = 1。从(3)得到$$x_2$$ = 1。因此，(1,1,1)是唯一可能且唯一的解(通过代入验证(1,1,1)是一个解)。

作为第三个例子，我们考虑:
$$x_1 + x_2 + x_3 = 3 (1)\\ x_1 − x_2 + 2x_3 = 2 (2) \\ 2x_1 + 3x_3 = 5 (3)$$
由于(1)+(2)=(3)，我们可以省略第三个方程(冗余)。由(1)(2)得到$$2x_1 = 5 – 3x_3, 2x_2 = 1+x_3$$。我们将$$x3 = a∈R$$定义为一个自由变量，使得任何三元组：
($$\frac{5}{2}-\frac{3}{2}a,\frac{1}{2}+\frac{1}{2}a,a),a ∈ R$$
都是线性方程组的解，即，我们得到一个包含无穷多个解的解集。

图1，两变量线性方程组的解空间可以用两条直线的交点来解释。每个线性方程都表示一条直线。

一般来说，对于一个线性方程组的实值系统，我们要么得到无解，要么一个解，要么得到无穷多个解。

注(线性方程组的几何解释)。在一个有两个变量$$x_1,x_2$$的线性方程组中，每个线性方程在$$x_1,x_2$$平面上定义一条直线。由于线性方程组的解必须同时满足所有方程，所以解集就是这些直线的交点。这个交集集可以是一条线(如果线性方程描述的是同一条线)、一个点，或者是空的(当两条线平行时)。
图1给出了对下面方程组的例证:
$$4x_1 + 4x_2 = 5 \\ 2x_1 −4x_2 = 1$$
其中解空间为点$$(x_1,x_2)=(1,\frac{1}{4})$$。同样，对于三个变量，每个线性方程决定了三维空间中的一个平面。当我们与这些平面相交时，例如同时满足所有线性方程，可得到平面、直线、点或空的解集(当平面没有公共交点时)。

为了系统化地求解线性方程系统，我们将引入一个有用的紧凑表示法。我们把系数$$a_{ij}$$收集到向量中然后把向量收集到矩阵中。也就是说，我们将方程组(1)中的系统写成如下形式:

$$x_1 \begin{bmatrix} a_{11} \\ . \\ . \\ . \\ a_{m1} \end{bmatrix} + x_2 \begin{bmatrix} a_{12} \\ . \\ . \\ . \\ a_{m2} \end{bmatrix} + …+ x_n \begin{bmatrix} a_{1n} \\ . \\ . \\ . \\ a_{mn} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1 \\ . \\ . \\ . \\ b_m \end{bmatrix}$$
⇒ $$\begin{bmatrix} a_{11}&…&a_{1n} \\ .& &. \\ .& &. \\ .& &. \\ a_{m1}&…& a_{mn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ . \\ . \\ . \\ x_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1 \\ . \\ . \\ . \\ b_m \end{bmatrix}$$
接下来，我们将仔细研究这些矩阵并定义计算规则。我们将在下节中回到求解线性方程。