线性方程组|极客教程

线性方程组,是线性代数的核心部分。许多问题都可以写成线性方程组，线性代数为我们提供了求解它们的工具。

例1：
A公司生产 $ReferenceError: katex is not defined$ ，其中资源 $ReferenceError: katex is not defined$ 是必需的。要生产一个单位的产品 $ReferenceError: katex is not defined$ ，需要 $ReferenceError: katex is not defined$ 单位的资源 $ReferenceError: katex is not defined$ ，其中 $ReferenceError: katex is not defined$ 。
目标是找到一个最优的生产计划，即，如果资源 $ReferenceError: katex is not defined$ 的 $ReferenceError: katex is not defined$ 单元总数可用，并且(理想情况下)没有剩余资源，那么应该生产多少个 $ReferenceError: katex is not defined$ 产品 $ReferenceError: katex is not defined$ 的计划。

如果我们生产相应产品的 $ReferenceError: katex is not defined$ 个单位，我们总共需要 $ReferenceError: katex is not defined$ 个单位的资源 $ReferenceError: katex is not defined$ 。因此，最优生产计划 $ReferenceError: katex is not defined$ 必须满足以下方程组:
$ReferenceError: katex is not defined$
其中， $ReferenceError: katex is not defined$

方程组(1)为线性方程组的一般形式， $ReferenceError: katex is not defined$ 是方程组的未知数。满足方程组(1)的每个n元组 $ReferenceError: katex is not defined$ 都是线性方程组的一个解。

例2：
线性方程组：
$ReferenceError: katex is not defined$
无解:前两个方程相加得到 $ReferenceError: katex is not defined$ ，与方程(3)相矛盾。

让我们来看看线性方程组:
$ReferenceError: katex is not defined$
从第一个和第三个方程，可以推出 $ReferenceError: katex is not defined$ = 1。由(1)+(2)得到 $ReferenceError: katex is not defined$ ，即, $ReferenceError: katex is not defined$ = 1。从(3)得到 $ReferenceError: katex is not defined$ = 1。因此，(1,1,1)是唯一可能且唯一的解(通过代入验证(1,1,1)是一个解)。

作为第三个例子，我们考虑:
$ReferenceError: katex is not defined$
由于(1)+(2)=(3)，我们可以省略第三个方程(冗余)。由(1)(2)得到 $ReferenceError: katex is not defined$ 。我们将 $ReferenceError: katex is not defined$ 定义为一个自由变量，使得任何三元组：
( $ReferenceError: katex is not defined$
都是线性方程组的解，即，我们得到一个包含无穷多个解的解集。

图1，两变量线性方程组的解空间可以用两条直线的交点来解释。每个线性方程都表示一条直线。

一般来说，对于一个线性方程组的实值系统，我们要么得到无解，要么一个解，要么得到无穷多个解。

注(线性方程组的几何解释)。在一个有两个变量 $ReferenceError: katex is not defined$ 的线性方程组中，每个线性方程在 $ReferenceError: katex is not defined$ 平面上定义一条直线。由于线性方程组的解必须同时满足所有方程，所以解集就是这些直线的交点。这个交集集可以是一条线(如果线性方程描述的是同一条线)、一个点，或者是空的(当两条线平行时)。
图1给出了对下面方程组的例证:
$ReferenceError: katex is not defined$
其中解空间为点 $ReferenceError: katex is not defined$ 。同样，对于三个变量，每个线性方程决定了三维空间中的一个平面。当我们与这些平面相交时，例如同时满足所有线性方程，可得到平面、直线、点或空的解集(当平面没有公共交点时)。