线性方程组

线性方程组,是线性代数的核心部分。许多问题都可以写成线性方程组，线性代数为我们提供了求解它们的工具。

例1：
A公司生产N_1，…，N_n，其中资源R_1，…,R_m是必需的。要生产一个单位的产品N_j，需要a_{ij}单位的资源R_i，其中i = 1，…，m和j = 1，…，n。
目标是找到一个最优的生产计划，即，如果资源R_i的b_i单元总数可用，并且(理想情况下)没有剩余资源，那么应该生产多少个x_j产品N_j的计划。

如果我们生产相应产品的x_1,…,x_n 个单位，我们总共需要a_{i1}x_1 +…+ a_{in}x_n个单位的资源R_i。因此，最优生产计划(x_1，…，x_n)∈R_n必须满足以下方程组:
\begin{Bmatrix}
a_{11} x_1 +···+ a_{1n}x_n = b_1 \\
. \\
. \\
. \\
a_{m1}x_1 +···+ a_{mn}x_n = b_m
\end{Bmatrix} 方程组(1)
其中，a_{ij} ∈ R 和 b_i ∈ R

方程组(1)为线性方程组的一般形式，x_1，…，x_n是方程组的未知数。满足方程组(1)的每个n元组(x_1，…，x_n)∈R_n都是线性方程组的一个解。

例2：
线性方程组：
x_1 + x_2 + x_3 = 3 (1) \\
x_1 − x_2 + 2x_3 = 2 (2) \\
2x_1 + 3x_3 = 1 (3)
无解:前两个方程相加得到2x_1+3x_3 = 5，与方程(3)相矛盾。

让我们来看看线性方程组:
x_1 + x_2 + x_3 = 3 (1)\\
x_1 − x_2 + 2x_3 = 2 (2) \\
x_2 + x_3 = 2 (3)
从第一个和第三个方程，可以推出x_1 = 1。由(1)+(2)得到2x_1 + 3x_3 = 5，即,x_3 = 1。从(3)得到x_2 = 1。因此，(1,1,1)是唯一可能且唯一的解(通过代入验证(1,1,1)是一个解)。

作为第三个例子，我们考虑:
x_1 + x_2 + x_3 = 3 (1)\\
x_1 − x_2 + 2x_3 = 2 (2) \\
2x_1 + 3x_3 = 5 (3)
由于(1)+(2)=(3)，我们可以省略第三个方程(冗余)。由(1)(2)得到2x_1 = 5 – 3x_3, 2x_2 = 1+x_3。我们将x3 = a∈R定义为一个自由变量，使得任何三元组：
(\frac{5}{2}-\frac{3}{2}a,\frac{1}{2}+\frac{1}{2}a,a),a ∈ R
都是线性方程组的解，即，我们得到一个包含无穷多个解的解集。

图1，两变量线性方程组的解空间可以用两条直线的交点来解释。每个线性方程都表示一条直线。

一般来说，对于一个线性方程组的实值系统，我们要么得到无解，要么一个解，要么得到无穷多个解。

注(线性方程组的几何解释)。在一个有两个变量x_1,x_2的线性方程组中，每个线性方程在x_1,x_2平面上定义一条直线。由于线性方程组的解必须同时满足所有方程，所以解集就是这些直线的交点。这个交集集可以是一条线(如果线性方程描述的是同一条线)、一个点，或者是空的(当两条线平行时)。
图1给出了对下面方程组的例证:
4x_1 + 4x_2 = 5 \\
2x_1 −4x_2 = 1
其中解空间为点(x_1,x_2)=(1,\frac{1}{4})。同样，对于三个变量，每个线性方程决定了三维空间中的一个平面。当我们与这些平面相交时，例如同时满足所有线性方程，可得到平面、直线、点或空的解集(当平面没有公共交点时)。

为了系统化地求解线性方程系统，我们将引入一个有用的紧凑表示法。我们把系数a_{ij}收集到向量中然后把向量收集到矩阵中。也就是说，我们将方程组(1)中的系统写成如下形式:

x_1
\begin{bmatrix}
a_{11} \\
. \\
. \\
. \\
a_{m1}
\end{bmatrix} +
x_2
\begin{bmatrix}
a_{12} \\
. \\
. \\
. \\
a_{m2}
\end{bmatrix} +
…+
x_n
\begin{bmatrix}
a_{1n} \\
. \\
. \\
. \\
a_{mn}
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
b_1 \\
. \\
. \\
. \\
b_m
\end{bmatrix}
⇒ \begin{bmatrix}
a_{11}&…&a_{1n} \\
.& &. \\
.& &. \\
.& &. \\
a_{m1}&…& a_{mn}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \\
. \\
. \\
. \\
x_n
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
b_1 \\
. \\
. \\
. \\
b_m
\end{bmatrix}
接下来，我们将仔细研究这些矩阵并定义计算规则。我们将在下节中回到求解线性方程。