标量、向量、矩阵和张量

学习线性代数，会涉及以下几类数学概念：标量、向量、矩阵和张量

• 标量（scalar）：一个标量就是一个单独的数，它不同于线性代数中研究的其他 大部分对象（通常是多个数的数组）。我们用斜体表示标量。标量通常被赋予小 写的变量名称。当我们介绍标量时，会明确它们是哪种类型的数。比如，在定 义实数标量时，我们可能会说 ‘‘令 s∈R 表示一条线的斜率’’；在定义自然数标量时，我们可能会说 ‘‘令 n∈N 表示元素的数目’’。

• 向量（vector）：一个向量是一列数。这些数是有序排列的。通过次序中的索引，我们可以确定每个单独的数。通常我们赋予向量粗体的小写变量名称，比 如 x。向量中的元素可以通过带脚标的斜体表示。向量 x 的第一个元素是 x_1，第二个元素是 x_2，等等。我们也会注明存储在向量中的元素是什么类型的。如 果每个元素都属于 R，并且该向量有 n 个元素，那么该向量属于实数集 R 的 n 次笛卡尔乘积构成的集合，记为 R^n。当需要明确表示向量中的元素时，我们 会将元素排列成一个方括号包围的纵列：

我们可以把向量看作空间中的点，每个元素是不同坐标轴上的坐标。 有时我们需要索引向量中的一些元素。在这种情况下，我们定义一个包含这些元素索引的集合，然后将该集合写在脚标处。比如，指定 x_1，x_3 和 x_6，我们定 义集合 S = {1,3,6}，然后写作 X_s。我们用符号－表示集合的补集中的索引。 比如X_1 表示 x 中除 x_1 外的所有元素，X_s表示 x 中除 x_1，x_3，x_6 外所有元 素构成的向量。

• 矩阵（matrix）：矩阵是一个二维数组，其中的每一个元素被两个索引（而非 一个）所确定。我们通常会赋予矩阵粗体的大写变量名称，比如 A。如果一个 实数矩阵高度为 m，宽度为 n，那么我们说 A∈Rm×n。我们在表示矩阵中的 元素时，通常以不加粗的斜体形式使用其名称，索引用逗号间隔。比如，A_{1,1} 表示 A 左上的元素，A_{m,n} 表示 A 右下的元素。我们通过用 “:’’ 表示水平坐 标，以表示垂直坐标 i 中的所有元素。比如，A_{i,:} 表示 A 中垂直坐标 i 上的一 横排元素。这也被称为 A 的第 i 行（row）。同样地，A_{:,_i} 表示 A 的第 i 列 （column）。当我们需要明确表示矩阵中的元素时，我们将它们写在用方括号括 起来的数组中：

有时我们需要矩阵值表达式的索引，而不是单个元素。在这种情况下，我们在 表达式后面接下标，但不必将矩阵的变量名称小写化。比如，f(A)_{i,j} 表示函数 f 作用在 A 上输出的矩阵的第 i 行第 j 列元素。

• 张量（tensor）：在某些情况下，我们会讨论坐标超过两维的数组。一般地，一 个数组中的元素分布在若干维坐标的规则网格中，我们称之为张量。我们使用 字体 A 来表示张量 “A’’。张量 A 中坐标为 (i,j,k) 的元素记作 A_{i,j,k}