MATLAB 积分

积分处理两种基本不同的问题。

在第一种类型中，给定一个函数的导数，我们想要找到这个函数。因此，我们基本上颠倒微分的过程。这个逆过程被称为反积分，或者找到原函数，或者找到一个 不定积分 。
第二种类型的问题涉及将大量的非常小的量相加，然后当这些量的大小趋近于零的时候，取极限，而项数趋向无穷大。这个过程导致了 定积分 的定义。

定积分用于找到面积、体积、重心、转动惯量、力做的功以及许多其他应用。

使用MATLAB找出不定积分

根据定义，如果函数f(x)的导数是f'(x)，那么我们说f'(x)关于x的不定积分是f(x)。例如，由于x 2 的导数（关于x）是2x，我们可以说2x的不定积分是x 2 。

在符号上 −

f'(x 2 ) = 2x ，因此，

∫ 2xdx = x 2.

不定积分是不唯一的，因为对于任何常数c的导数c + x 2 也是2x。

这在符号上表达为 −

∫ 2xdx = x 2 + c .

其中，c被称为“任意常数”。

MATLAB提供了一个 int 命令用于计算表达式的积分。为了推导一个函数的不定积分的表达式，我们写成 −

int(f);

例如，从我们之前的例子中 −

syms x 
int(2*x)

MATLAB执行上述语句，并返回以下结果−

ans =
   x^2

示例1

在这个例子中，让我们找出一些常用表达式的积分。创建一个脚本文件，并在其中输入以下代码−

syms x n

int(sym(x^n))
f = 'sin(n*t)'
int(sym(f))
syms a t
int(a*cos(pi*t))
int(a^x)

当你运行该文件时，它会呈现以下结果−

ans =
   piecewise([n == -1, log(x)], [n ~= -1, x^(n + 1)/(n + 1)])
f =
sin(n*t)
ans =
   -cos(n*t)/n
   ans =
   (a*sin(pi*t))/pi
   ans =
   a^x/log(a)

示例2

创建一个脚本文件，并在其中输入以下代码 –

syms x n
int(cos(x))
int(exp(x))
int(log(x))
int(x^-1)
int(x^5*cos(5*x))
pretty(int(x^5*cos(5*x)))

int(x^-5)
int(sec(x)^2)
pretty(int(1 - 10*x + 9 * x^2))

int((3 + 5*x -6*x^2 - 7*x^3)/2*x^2)
pretty(int((3 + 5*x -6*x^2 - 7*x^3)/2*x^2))

注意， pretty 函数返回一个以更易读的格式显示的表达式。

运行文件后，将显示以下结果 –

ans =
   sin(x)

ans =
   exp(x)

ans =
   x*(log(x) - 1)

ans =
   log(x)

ans =
(24*cos(5*x))/3125 + (24*x*sin(5*x))/625 - (12*x^2*cos(5*x))/125 + (x^4*cos(5*x))/5 - (4*x^3*sin(5*x))/25 + (x^5*sin(5*x))/5
                                    2             4 
   24 cos(5 x)   24 x sin(5 x)   12 x  cos(5 x)   x  cos(5 x) 
   ----------- + ------------- - -------------- + ------------ 
      3125            625             125              5 

        3             5 

   4 x  sin(5 x)   x  sin(5 x) 
   ------------- + ----------- 
         25              5

ans =
-1/(4*x^4)

ans =
tan(x)
        2 
  x (3 x  - 5 x + 1)

ans = 
- (7*x^6)/12 - (3*x^5)/5 + (5*x^4)/8 + x^3/2

      6      5      4    3 
    7 x    3 x    5 x    x 
  - ---- - ---- + ---- + -- 
     12     5      8     2

使用MATLAB计算定积分

根据定义，定积分基本上是求和的极限。我们使用定积分来求解例如曲线与x轴之间的面积以及两条曲线之间的面积。定积分也可以用于其他情况，其中所需的数量可以表示为求和的极限。

通过传递您想要计算积分的限制，可以使用 int 函数进行定积分计算。

要进行计算，请输入

MATLAB 积分

我们写道，

int(x, a, b)

例如，要计算

MATLAB 积分

int(x, 4, 9)

MATLAB执行上述语句，并返回以下结果 −

ans =
   65/2

以下是与上述计算等效的Octave代码：

下面是与上述计算等效的Octave代码：

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
f = x;
c = [1, 0];
integral = polyint(c);

a = polyval(integral, 9) - polyval(integral, 4);
display('Area: '), disp(double(a));

Octave 执行代码并返回以下结果 –

Area: 

   32.500

可以使用Octave提供的quad()函数提供替代解决方案，如下：

pkg load symbolic
symbols

f = inline("x");
[a, ierror, nfneval] = quad(f, 4, 9);

display('Area: '), disp(double(a));

Octave执行代码并返回以下结果 –

Area: 
   32.500

示例1

让我们计算x轴与曲线y = x3 −2x+5以及纵坐标x = 1和x = 2之间的面积。

所需的面积由以下公式给出：

MATLAB 积分

f = x^3 - 2*x +5;
a = int(f, 1, 2)
display('Area: '), disp(double(a));

当您运行该文件时，它将显示以下结果−

a =
23/4
Area: 
   5.7500

以下是上述计算的Octave等价版本 –

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
f = x^3 - 2*x +5;
c = [1, 0, -2, 5];
integral = polyint(c);

a = polyval(integral, 2) - polyval(integral, 1);
display('Area: '), disp(double(a));

Octave执行代码并返回以下结果−

Area: 

   5.7500

可以使用Octave提供的quad()函数来给出另一种解决方案，如下所示−

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
f = inline("x^3 - 2*x +5");

[a, ierror, nfneval] = quad(f, 1, 2);
display('Area: '), disp(double(a));

Octave执行代码并返回以下结果 –

Area: 
   5.7500

示例2

找到曲线下的面积：f(x) = x2cos(x)，其中−4 ≤ x ≤ 9。

创建脚本文件并编写以下代码 –

f = x^2*cos(x);
ezplot(f, [-4,9])
a = int(f, -4, 9)
disp('Area: '), disp(double(a));

当您运行文件时，MATLAB绘制图形 –

MATLAB 积分

输出结果如下：

a = 
8*cos(4) + 18*cos(9) + 14*sin(4) + 79*sin(9)

Area: 
   0.3326

以下是上述计算的Octave等效代码：

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
f = inline("x^2*cos(x)");

ezplot(f, [-4,9])
print -deps graph.eps

[a, ierror, nfneval] = quad(f, -4, 9);
display('Area: '), disp(double(a));