极客教程MATLAB 积分
积分处理两种基本不同的问题。
- 在第一种类型中，给定一个函数的导数，我们想要找到这个函数。因此，我们基本上颠倒微分的过程。这个逆过程被称为反积分，或者找到原函数，或者找到一个 不定积分 。
-
第二种类型的问题涉及将大量的非常小的量相加，然后当这些量的大小趋近于零的时候，取极限，而项数趋向无穷大。这个过程导致了 定积分 的定义。
定积分用于找到面积、体积、重心、转动惯量、力做的功以及许多其他应用。
使用MATLAB找出不定积分
根据定义，如果函数f(x)的导数是f'(x)，那么我们说f'(x)关于x的不定积分是f(x)。例如，由于x 2 的导数（关于x）是2x，我们可以说2x的不定积分是x 2 。
在符号上 −
f'(x 2 ) = 2x ，因此，
∫ 2xdx = x 2.
不定积分是不唯一的，因为对于任何常数c的导数c + x 2 也是2x。
这在符号上表达为 −
∫ 2xdx = x 2 + c .
其中，c被称为“任意常数”。
MATLAB提供了一个 int 命令用于计算表达式的积分。为了推导一个函数的不定积分的表达式，我们写成 −
int(f);
例如，从我们之前的例子中 −
syms x
int(2*x)
MATLAB执行上述语句，并返回以下结果−
ans =
x^2
示例1
在这个例子中，让我们找出一些常用表达式的积分。创建一个脚本文件，并在其中输入以下代码−
syms x n
int(sym(x^n))
f = 'sin(n*t)'
int(sym(f))
syms a t
int(a*cos(pi*t))
int(a^x)
当你运行该文件时，它会呈现以下结果−
ans =
piecewise([n == -1, log(x)], [n ~= -1, x^(n + 1)/(n + 1)])
f =
sin(n*t)
ans =
-cos(n*t)/n
ans =
(a*sin(pi*t))/pi
ans =
a^x/log(a)
示例2
创建一个脚本文件，并在其中输入以下代码 –
syms x n
int(cos(x))
int(exp(x))
int(log(x))
int(x^-1)
int(x^5*cos(5*x))
pretty(int(x^5*cos(5*x)))
int(x^-5)
int(sec(x)^2)
pretty(int(1 - 10*x + 9 * x^2))
int((3 + 5*x -6*x^2 - 7*x^3)/2*x^2)
pretty(int((3 + 5*x -6*x^2 - 7*x^3)/2*x^2))
注意， pretty 函数返回一个以更易读的格式显示的表达式。
运行文件后，将显示以下结果 –
ans =
sin(x)
ans =
exp(x)
ans =
x*(log(x) - 1)
ans =
log(x)
ans =
(24*cos(5*x))/3125 + (24*x*sin(5*x))/625 - (12*x^2*cos(5*x))/125 + (x^4*cos(5*x))/5 - (4*x^3*sin(5*x))/25 + (x^5*sin(5*x))/5
2 4
24 cos(5 x) 24 x sin(5 x) 12 x cos(5 x) x cos(5 x)
----------- + ------------- - -------------- + ------------
3125 625 125 5
3 5
4 x sin(5 x) x sin(5 x)
------------- + -----------
25 5
ans =
-1/(4*x^4)
ans =
tan(x)
2
x (3 x - 5 x + 1)
ans =
- (7*x^6)/12 - (3*x^5)/5 + (5*x^4)/8 + x^3/2
6 5 4 3
7 x 3 x 5 x x
- ---- - ---- + ---- + --
12 5 8 2
使用MATLAB计算定积分
根据定义，定积分基本上是求和的极限。我们使用定积分来求解例如曲线与x轴之间的面积以及两条曲线之间的面积。定积分也可以用于其他情况，其中所需的数量可以表示为求和的极限。
通过传递您想要计算积分的限制，可以使用 int 函数进行定积分计算。
要进行计算，请输入
我们写道，
int(x, a, b)
例如，要计算
int(x, 4, 9)
MATLAB执行上述语句，并返回以下结果 −
ans =
65/2
以下是与上述计算等效的Octave代码：
下面是与上述计算等效的Octave代码：
pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
f = x;
c = [1, 0];
integral = polyint(c);
a = polyval(integral, 9) - polyval(integral, 4);
display('Area: '), disp(double(a));
Octave 执行代码并返回以下结果 –
Area:
32.500
可以使用Octave提供的quad()函数提供替代解决方案，如下：
pkg load symbolic
symbols
f = inline("x");
[a, ierror, nfneval] = quad(f, 4, 9);
display('Area: '), disp(double(a));
Octave执行代码并返回以下结果 –
Area:
32.500
示例1
让我们计算x轴与曲线y = x3 −2x+5以及纵坐标x = 1和x = 2之间的面积。
所需的面积由以下公式给出：
f = x^3 - 2*x +5;
a = int(f, 1, 2)
display('Area: '), disp(double(a));
当您运行该文件时，它将显示以下结果−
a =
23/4
Area:
5.7500
以下是上述计算的Octave等价版本 –
pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
f = x^3 - 2*x +5;
c = [1, 0, -2, 5];
integral = polyint(c);
a = polyval(integral, 2) - polyval(integral, 1);
display('Area: '), disp(double(a));
Octave执行代码并返回以下结果−
Area:
5.7500
可以使用Octave提供的quad()函数来给出另一种解决方案，如下所示−
pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
f = inline("x^3 - 2*x +5");
[a, ierror, nfneval] = quad(f, 1, 2);
display('Area: '), disp(double(a));
Octave执行代码并返回以下结果 –
Area:
5.7500
示例2
找到曲线下的面积：f(x) = x2cos(x)，其中−4 ≤ x ≤ 9。
创建脚本文件并编写以下代码 –
f = x^2*cos(x);
ezplot(f, [-4,9])
a = int(f, -4, 9)
disp('Area: '), disp(double(a));
当您运行文件时，MATLAB绘制图形 –
输出结果如下：
a =
8*cos(4) + 18*cos(9) + 14*sin(4) + 79*sin(9)
Area:
0.3326
以下是上述计算的Octave等效代码：
pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
f = inline("x^2*cos(x)");
ezplot(f, [-4,9])
print -deps graph.eps
[a, ierror, nfneval] = quad(f, -4, 9);
display('Area: '), disp(double(a));