MATLAB 微分

MATLAB提供了用于计算符号导数的 diff 命令。在其最简单的形式中，您将希望微分的函数作为参数传递给diff命令。

例如，让我们计算函数f(t) = 3t 2 + 2t -2 的导数。

示例

创建一个脚本文件并将以下代码输入其中−

syms t
f = 3*t^2 + 2*t^(-2);
diff(f)

当上述代码被编译和执行时，会产生以下结果：

ans =
6*t - 4/t^3

以下是以上计算的Octave等效方式-

pkg load symbolic
symbols

t = sym("t");
f = 3*t^2 + 2*t^(-2);
differentiate(f,t)

Octave执行代码并返回以下结果-

ans =
   -(4.0)*t^(-3.0)+(6.0)*t

微分基本规则的验证

让我们简要说明函数微分的各种方程或规则，并验证这些规则。为此，我们将用f'(x)表示一阶导数，用f”(x)表示二阶导数。

以下是微分的规则：

规则一

对于任意函数f和g，以及任意实数a和b，函数

h(x) = af(x) + bg(x) 的导数关于x的导数为

h'(x) = af'(x) + bg'(x)

规则二

和 和 差 规则规定，如果f和g是两个函数，f’和g’分别是它们的导数，则

(f + g)’ = f’ + g’

(f – g)’ = f’ – g’

规则三

乘积 规则规定，如果f和g是两个函数，f’和g’分别是它们的导数，则

(f.g)’ = f’.g + g’.f

规则四

商 规则规定，如果f和g是两个函数，f’和g’分别是它们的导数，则

(f/g)’ = (f’.g – g’.f)/g^2

规则五

多项式 或基本幂规则规定，如果 y = f(x) = x^n ，那么 f’ = n. x^(n-1)

根据这个规则，任意常数的导数都是零，即，如果 y = k ，k为任意常数，那么

f’ = 0

规则六

链 规则说明了复合函数 h(x) = f(g(x)) 关于x的导数是

h'(x)= f'(g(x)).g'(x)

示例

创建一个脚本文件，然后输入以下代码：

syms x
syms t

f = (x + 2)*(x^2 + 3)
der1 = diff(f)

f = (t^2 + 3)*(sqrt(t) + t^3)
der2 = diff(f)

f = (x^2 - 2*x + 1)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2)
der3 = diff(f)

f = (2*x^2 + 3*x)/(x^3 + 1)
der4 = diff(f)

f = (x^2 + 1)^17
der5 = diff(f)

f = (t^3 + 3* t^2 + 5*t -9)^(-6)
der6 = diff(f)

当您运行该文件时，MATLAB会显示以下结果−

f =
   (x^2 + 3)*(x + 2)

   der1 =
   2*x*(x + 2) + x^2 + 3

f =
   (t^(1/2) + t^3)*(t^2 + 3)

   der2 =
   (t^2 + 3)*(3*t^2 + 1/(2*t^(1/2))) + 2*t*(t^(1/2) + t^3)

f =
   (x^2 - 2*x + 1)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2)

der3 =
   (2*x - 2)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2) - (- 9*x^2 + 10*x)*(x^2 - 2*x + 1)

f =
   (2*x^2 + 3*x)/(x^3 + 1)

der4 =
   (4*x + 3)/(x^3 + 1) - (3*x^2*(2*x^2 + 3*x))/(x^3 + 1)^2

f =
   (x^2 + 1)^17

der5 =
   34*x*(x^2 + 1)^16

f =
   1/(t^3 + 3*t^2 + 5*t - 9)^6

der6 =
   -(6*(3*t^2 + 6*t + 5))/(t^3 + 3*t^2 + 5*t - 9)^7

以下是上述计算的Octave等价代码：

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
t = sym("t");

f = (x + 2)*(x^2 + 3) 
der1 = differentiate(f,x) 

f = (t^2 + 3)*(t^(1/2) + t^3) 
der2 = differentiate(f,t) 

f = (x^2 - 2*x + 1)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2) 
der3 = differentiate(f,x) 

f = (2*x^2 + 3*x)/(x^3 + 1) 
der4 = differentiate(f,x) 

f = (x^2 + 1)^17 
der5 = differentiate(f,x) 

f = (t^3 + 3* t^2 + 5*t -9)^(-6) 
der6 = differentiate(f,t)

Octave 执行代码并返回以下结果 –

f =

(2.0+x)*(3.0+x^(2.0))
der1 =

3.0+x^(2.0)+(2.0)*(2.0+x)*x
f =

(t^(3.0)+sqrt(t))*(3.0+t^(2.0))
der2 =

(2.0)*(t^(3.0)+sqrt(t))*t+((3.0)*t^(2.0)+(0.5)*t^(-0.5))*(3.0+t^(2.0))
f =

(1.0+x^(2.0)-(2.0)*x)*(2.0-(5.0)*x^(2.0)+(3.0)*x^(3.0))
der3 =

(-2.0+(2.0)*x)*(2.0-(5.0)*x^(2.0)+(3.0)*x^(3.0))+((9.0)*x^(2.0)-(10.0)*x)*(1.0+x^(2.0)-(2.0)*x)
f =

(1.0+x^(3.0))^(-1)*((2.0)*x^(2.0)+(3.0)*x)
der4 =

(1.0+x^(3.0))^(-1)*(3.0+(4.0)*x)-(3.0)*(1.0+x^(3.0))^(-2)*x^(2.0)*((2.0)*x^(2.0)+(3.0)*x)
f =

(1.0+x^(2.0))^(17.0)
der5 =

(34.0)*(1.0+x^(2.0))^(16.0)*x
f =

(-9.0+(3.0)*t^(2.0)+t^(3.0)+(5.0)*t)^(-6.0)
der6 =

-(6.0)*(-9.0+(3.0)*t^(2.0)+t^(3.0)+(5.0)*t)^(-7.0)*(5.0+(3.0)*t^(2.0)+(6.0)*t)

指数、对数和三角函数的导数

以下表格提供了常用指数、对数和三角函数的导数-

示例

创建一个脚本文件，并将以下代码输入其中：

syms x
y = exp(x)
diff(y)

y = x^9
diff(y)

y = sin(x)
diff(y)

y = tan(x)
diff(y)

y = cos(x)
diff(y)

y = log(x)
diff(y)

y = log10(x)
diff(y)

y = sin(x)^2
diff(y)

y = cos(3*x^2 + 2*x + 1)
diff(y)

y = exp(x)/sin(x)
diff(y)

当您运行该文件时，MATLAB会显示以下结果 –

y =
   exp(x)
   ans =
   exp(x)

y =
   x^9
   ans =
   9*x^8

y =
   sin(x)
   ans =
   cos(x)

y =
   tan(x)
   ans =
   tan(x)^2 + 1

y =
   cos(x)
   ans =
   -sin(x)

y =
   log(x)
   ans =
   1/x

y =
   log(x)/log(10)
   ans =
   1/(x*log(10))

y =
   sin(x)^2
   ans =
   2*cos(x)*sin(x)

y =
   cos(3*x^2 + 2*x + 1)
   ans =
   -sin(3*x^2 + 2*x + 1)*(6*x + 2)

y =
   exp(x)/sin(x)
   ans =
   exp(x)/sin(x) - (exp(x)*cos(x))/sin(x)^2

以下是上述计算的Octave等效代码：

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
y = Exp(x)
differentiate(y,x)

y = x^9
differentiate(y,x)

y = Sin(x)
differentiate(y,x)

y = Tan(x)
differentiate(y,x)

y = Cos(x)
differentiate(y,x)

y = Log(x)
differentiate(y,x)

% symbolic packages does not have this support
%y = Log10(x)
%differentiate(y,x)

y = Sin(x)^2
differentiate(y,x)

y = Cos(3*x^2 + 2*x + 1)
differentiate(y,x)

y = Exp(x)/Sin(x)
differentiate(y,x)

Octave执行代码并返回以下结果 −

y =

exp(x)
ans =

exp(x)
y =

x^(9.0)
ans =

(9.0)*x^(8.0)
y =

sin(x)
ans =

cos(x)
y =

tan(x)
ans =

1+tan(x)^2
y =

cos(x)
ans =

-sin(x)
y =

log(x)
ans =

x^(-1)
y =

sin(x)^(2.0)
ans =

(2.0)*sin(x)*cos(x)
y =

cos(1.0+(2.0)*x+(3.0)*x^(2.0))
ans =

-(2.0+(6.0)*x)*sin(1.0+(2.0)*x+(3.0)*x^(2.0))
y =

sin(x)^(-1)*exp(x)
ans =

sin(x)^(-1)*exp(x)-sin(x)^(-2)*cos(x)*exp(x)

计算高阶导数

要计算一个函数 f 的高阶导数，我们使用以下语法 diff(f,n) 。

让我们计算函数 y = f(x) = x .e -3x 的二阶导数。

f = x*exp(-3*x);
diff(f, 2)

MATLAB执行代码并返回以下结果−

ans =
9*x*exp(-3*x) - 6*exp(-3*x)

以下是上述计算的Octave等效代码：

以下是上述计算的Octave等效代码-

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
f = x*Exp(-3*x);
differentiate(f, x, 2)

Octave执行代码并返回以下结果：

ans =

(9.0)*exp(-(3.0)*x)*x-(6.0)*exp(-(3.0)*x)

示例

在这个示例中，让我们解决一个问题。给定一个函数 y = f(x) = 3 sin(x) + 7 cos(5x) 。我们需要找出方程 f” + f = -5cos(2x) 是否成立。

创建一个脚本文件并将以下代码输入其中−

syms x
y = 3*sin(x)+7*cos(5*x);  % defining the function
lhs = diff(y,2)+y;        %evaluting the lhs of the equation
rhs = -5*cos(2*x);        %rhs of the equation
if(isequal(lhs,rhs))
   disp('Yes, the equation holds true');
else
   disp('No, the equation does not hold true');
end
disp('Value of LHS is: '), disp(lhs);

当您运行该文件时，它会显示以下结果−

No, the equation does not hold true
Value of LHS is: 
-168*cos(5*x)

以下是上述计算的Octave等效代码：

跟随的Octave等效代码如下 –

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
y = 3*Sin(x)+7*Cos(5*x);           % defining the function
lhs = differentiate(y, x, 2) + y;  %evaluting the lhs of the equation
rhs = -5*Cos(2*x);                 %rhs of the equation

if(lhs == rhs)
   disp('Yes, the equation holds true');
else
   disp('No, the equation does not hold true');
end
disp('Value of LHS is: '), disp(lhs);

Octave执行代码并返回以下结果−

No, the equation does not hold true
Value of LHS is: 
-(168.0)*cos((5.0)*x)

寻找曲线的最大值和最小值

如果我们要寻找图形的局部最大值和最小值，基本上是要找出函数图形在特定局部或特定范围内的最高或最低点。

对于函数y = f(x)，图形上斜率为零的点被称为 驻点 。换句话说，驻点满足f'(x) = 0。

要找到函数的驻点，我们需要对其求导并将导数置零求解。

示例

让我们找出函数f(x) = 2x^3 + 3x^2 – 12x + 17的驻点。

按照以下步骤进行：

首先，让我们输入函数并绘制其图形。

syms x
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;   % defining the function
ezplot(y)

MATLAB 执行代码并返回以下绘图结果 –

pkg load symbolic
symbols

x = sym('x');
y = inline("2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17");

ezplot(y)
print -deps graph.eps

我们的目标是在图上找到一些局部最大值和最小值，因此让我们在图上找出区间[-2, 2]的局部最大值和最小值。

syms x
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;   % defining the function
ezplot(y, [-2, 2])

MATLAB 执行代码并返回如下图示 –

以下是上述示例的Octave等效代码-

pkg load symbolic
symbols

x = sym('x');
y = inline("2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17");

ezplot(y, [-2, 2])
print -deps graph.eps

接下来，让我们计算导数。

g = diff(y)

MATLAB执行代码并返回以下结果 –

g =
   6*x^2 + 6*x - 12

这里是与上述计算相等的Octave代码：

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;
g = differentiate(y,x)

Octave执行代码并返回以下结果−

g =
   -12.0+(6.0)*x+(6.0)*x^(2.0)

让我们解决导数函数g，以获取它为零的值。

s = solve(g)

MATLAB 执行代码并返回以下结果：

s =
   1
   -2

以下是上述计算的Octave等效代码：

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;
g = differentiate(y,x)
roots([6, 6, -12])

Octave执行代码并返回以下结果 –

g =

-12.0+(6.0)*x^(2.0)+(6.0)*x
ans =

  -2
   1

这符合我们的情节。所以让我们在临界点x = 1，-2处评估函数f。 我们可以使用 subs 命令来代入符号函数中的值。

subs(y, 1), subs(y, -2)

MATLAB执行代码并返回以下结果 –

ans =
   10
ans =
   37

以下是上面计算的Octave等效版本：

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;
g = differentiate(y,x)

roots([6, 6, -12])
subs(y, x, 1), subs(y, x, -2)

ans =
   10.0
ans =
   37.0-4.6734207789940138748E-18*I

因此，函数 f(x) = 2x 3 + 3x 2 − 12x + 17 在区间 [-2,2] 上的最小值和最大值分别为10和37。

解微分方程

MATLAB提供了用于符号求解微分方程的 dsolve 指令。

寻找解单个方程的 dsolve 指令的最基本形式为：

dsolve('eqn')

其中eqn是用于输入方程的文本字符串。

它返回一个带有一组任意常数的符号解，MATLAB将其标记为C1、C2等。

您还可以在方程后跟随逗号分隔的列表形式的初始条件和边界条件来指定问题。

dsolve('eqn','cond1', 'cond2',…)

为了使用 dsolve 命令， 导数用 D 表示 。例如，一个像 f'(t) = -2*f + cost(t) 的方程被输入为 −

‘Df = -2*f + cos(t)’

高阶导数通过在 D 后面添加导数的阶数来表示。

例如，方程 f”(x) + 2f'(x) = 5sin3x 应该输入为 −

‘D2y + 2Dy = 5sin(3x)’

现在让我们来看一个简单的一阶微分方程的例子：y’ = 5y。

s = dsolve('Dy = 5*y')

MATLAB执行代码并返回以下结果 –

s =
   C2*exp(5*t)

让我们来看另一个二阶微分方程的例子：y” – y = 0，y(0) = -1，y'(0) = 2。

dsolve('D2y - y = 0','y(0) = -1','Dy(0) = 2')

Matlab执行该代码并返回以下结果 –

ans =
   exp(t)/2 - (3*exp(-t))/2