MATLAB 代数

到目前为止，我们已经看到所有的例子都可以在MATLAB和GNU（又称Octave）中工作。但是，对于解决基本代数方程，MATLAB和Octave有些不同，因此我们将分别介绍MATLAB和Octave。

我们还将讨论代数表达式的因式分解和简化。

在MATLAB中解决基本代数方程

solve 函数用于解决代数方程。在其最简形式中，solve函数将以引号括起来的方程作为参数。

例如，让我们解方程x-5 = 0中的x。

solve('x-5=0')

MATLAB将执行上述语句并返回以下结果−

ans =
   5

你也可以这样调用 solve 函数 −

y = solve('x-5 = 0')

MATLAB将执行上述语句并返回以下结果 −

y =
   5

甚至可以不包括等式的右手边 −

solve('x-5')

MATLAB 将执行上述语句，并返回以下结果：

ans =
   5

如果方程涉及多个符号，则MATLAB默认假设您是解x的方程，然而，solve函数还有另一种形式−

solve(equation, variable)

在这里，你还可以提到这个变量。

例如，让我们求解方程 v – u – 3t2 = 0，关于 v。在这种情况下，我们应该写成 –

solve('v-u-3*t^2=0', 'v')

MATLAB将执行上述语句并返回以下结果 –

ans =
   3*t^2 + u

在Octave中解决基本代数方程

使用 roots 函数来解决Octave中的代数方程，你可以按照上述示例编写如下的方程：

例如，让我们解方程x-5=0中的x

roots([1, -5])

Octave将执行上述语句并返回以下结果 –

ans = 5

您还可以将solve函数称为−

y = roots([1, -5])

Octave将执行上面的语句，并返回以下结果 −

y = 5

在MATLAB中解二次方程

函数 solve 也可以解高阶方程。它常用于解二次方程。该函数返回方程的根的数组。

以下示例解二次方程x2-7x+12=0。创建一个脚本文件，输入以下代码 –

eq = 'x^2 -7*x + 12 = 0';
s = solve(eq);
disp('The first root is: '), disp(s(1));
disp('The second root is: '), disp(s(2));

当你运行文件时，它会显示以下结果 −

The first root is: 
   3
The second root is: 
   4

在Octave中解二次方程

下面的例子在Octave中解二次方程x2-7x+12=0。创建一个脚本文件并输入以下代码-

s = roots([1, -7, 12]);

disp('The first root is: '), disp(s(1));
disp('The second root is: '), disp(s(2));

当你运行该文件时，它显示以下结果−

The first root is: 
   4
The second root is: 
   3

在MATLAB中求解高阶方程

solve 函数也可以求解高阶方程。例如，让我们求解一个三次方程 (x-3)2(x-7) = 0

solve('(x-3)^2*(x-7)=0')

MATLAB将执行上述语句并返回以下结果 –

ans =
   3
   3
   7

在高阶方程的情况下，根数会很长，包含许多项。您可以通过将它们转换为双精度数值来获得这些根的数值。以下示例解决了四阶方程 x4 - 7×3 + 3×2 - 5x + 9 = 0。

创建一个脚本文件并键入以下代码 –

eq = 'x^4 - 7*x^3 + 3*x^2 - 5*x + 9 = 0';
s = solve(eq);
disp('The first root is: '), disp(s(1));
disp('The second root is: '), disp(s(2));
disp('The third root is: '), disp(s(3));
disp('The fourth root is: '), disp(s(4));

% converting the roots to double type
disp('Numeric value of first root'), disp(double(s(1)));
disp('Numeric value of second root'), disp(double(s(2)));
disp('Numeric value of third root'), disp(double(s(3)));
disp('Numeric value of fourth root'), disp(double(s(4)));

当您运行该文件时，它返回以下结果−

The first root is: 
6.630396332390718431485053218985
 The second root is: 
1.0597804633025896291682772499885
 The third root is: 
- 0.34508839784665403032666523448675 - 1.0778362954630176596831109269793*i
 The fourth root is: 
- 0.34508839784665403032666523448675 + 1.0778362954630176596831109269793*i
Numeric value of first root
   6.6304
Numeric value of second root
   1.0598
Numeric value of third root
   -0.3451 - 1.0778i
Numeric value of fourth root
   -0.3451 + 1.0778i

请注意，最后两个根是复数。

在Octave中解高阶方程

以下示例解决了四次方程x 4 - 7x 3 + 3x 2 - 5x + 9 = 0。

创建一个脚本文件并输入以下代码−

v = [1, -7,  3, -5, 9];
s = roots(v);

% converting the roots to double type
disp('Numeric value of first root'), disp(double(s(1)));
disp('Numeric value of second root'), disp(double(s(2)));
disp('Numeric value of third root'), disp(double(s(3)));
disp('Numeric value of fourth root'), disp(double(s(4)));

当你运行文件时，它会返回以下结果 –

Numeric value of first root
 6.6304
Numeric value of second root
-0.34509 + 1.07784i
Numeric value of third root
-0.34509 - 1.07784i
Numeric value of fourth root
 1.0598

在MATLAB中解决方程组

solve 函数也可以用于生成涉及多个变量的方程组的解。让我们以一个简单的例子来演示这种用法。

让我们解方程组 –

5x + 9y = 5

3x – 6y = 4

创建一个脚本文件并键入以下代码 –

s = solve('5*x + 9*y = 5','3*x - 6*y = 4');
s.x
s.y

当你运行该文件时，它会显示以下结果−

ans =
   22/19
ans =
   -5/57

以同样的方式，您可以解决更大的线性系统。考虑以下方程组−

x + 3y – 2z = 5

3x + 5y + 6z = 7

2x + 4y + 3z = 8

在 Octave 中解线性方程组

我们有一种不同的方法来解决一个由’n’个线性方程组成的未知数为’n’的系统。让我们举一个简单的例子来演示其使用方法。

让我们解如下方程−

5x + 9y = 5

3x – 6y = 4

这样的线性方程组可以写为单矩阵方程Ax = b，其中A是系数矩阵，b是包含线性方程右端的列向量，x是表示解的列向量，如下面的程序所示−

创建一个脚本文件并输入以下代码−

A = [5, 9; 3, -6];
b = [5;4];
A \ b

当你运行该文件时，它会显示以下结果 –

ans =

   1.157895
  -0.087719

以同样的方式，您可以解决较大的线性系统，如下所示：

x + 3y – 2z = 5

3x + 5y + 6z = 7

2x + 4y + 3z = 8

在MATLAB中展开和收集方程

expand 和 collect 函数分别展开和收集等式。下面的例子演示了这些概念-

当您使用多个符号函数时，应声明您的变量为符号。

创建一个脚本文件，并键入以下代码-

syms x   %symbolic variable x
syms y   %symbolic variable x
% expanding equations
expand((x-5)*(x+9))
expand((x+2)*(x-3)*(x-5)*(x+7))
expand(sin(2*x))
expand(cos(x+y))

% collecting equations
collect(x^3 *(x-7))
collect(x^4*(x-3)*(x-5))

当你运行该文件时，会显示以下结果：

ans =
   x^2 + 4*x - 45
ans =
   x^4 + x^3 - 43*x^2 + 23*x + 210
ans =
   2*cos(x)*sin(x)
ans =
   cos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y)
ans =
   x^4 - 7*x^3
ans =
   x^6 - 8*x^5 + 15*x^4

扩展和收集Octave中的方程

您需要安装 符号 包，该包提供了 扩展 和 收集 函数分别用于扩展和收集方程。以下示例演示了这些概念。

当您使用许多符号函数时，您应该声明变量是符号的，但Octave对定义符号变量有不同的方法。请注意使用的 Sin 和 Cos ，它们也在符号包中定义。

创建一个脚本文件，输入以下代码 –

% first of all load the package, make sure its installed.
pkg load symbolic

% make symbols module available
symbols

% define symbolic variables
x = sym ('x');
y = sym ('y');
z = sym ('z');

% expanding equations
expand((x-5)*(x+9))
expand((x+2)*(x-3)*(x-5)*(x+7))
expand(Sin(2*x))
expand(Cos(x+y))

% collecting equations
collect(x^3 *(x-7), z)
collect(x^4*(x-3)*(x-5), z)

当你运行文件时，它会显示以下结果 −

ans =

-45.0+x^2+(4.0)*x
ans =

210.0+x^4-(43.0)*x^2+x^3+(23.0)*x
ans =

sin((2.0)*x)
ans =

cos(y+x)
ans =

x^(3.0)*(-7.0+x)
ans =

(-3.0+x)*x^(4.0)*(-5.0+x)

代数表达式的分解和简化

factor函数可以将表达式进行分解，simplify函数可以将表达式进行简化。以下示例演示了这个概念-

示例

创建一个脚本文件并输入以下代码-

syms x
syms y
factor(x^3 - y^3)
factor([x^2-y^2,x^3+y^3])
simplify((x^4-16)/(x^2-4))

当您运行该文件时，它将显示以下结果 －

ans =
   (x - y)*(x^2 + x*y + y^2)
ans =
   [ (x - y)*(x + y), (x + y)*(x^2 - x*y + y^2)]
ans =
   x^2 + 4