SymPy 积分

SymPy包含积分模块。它实现了计算表达式的定积分和不定积分的方法。integrate()方法用于计算定积分和不定积分。要计算不定积分或原始积分，只需在表达式后面传递变量。

例如−

integrate(f, x)

要计算一个定积分，按照以下方式传递参数：

(integration_variable, lower_limit, upper_limit)

>>> from sympy import * 
>>> x,y = symbols('x y') 
>>> expr=x**2 + x + 1 
>>> integrate(expr, x)

上面的代码片段的输出与下面的表达式等效−

$$\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x$$

>>> expr=sin(x)*tan(x) 
>>> expr 
>>> integrate(expr,x)

上面的代码片段的输出等同于下面的表达式 −

$$-\frac{\log(\sin(x) – 1)}{2} + \frac{\log(\sin(x) + 1)}{2} – \sin(x)$$

下面给出一个定积分的示例 −

>>> expr=exp(-x**2) 
>>> integrate(expr,(x,0,oo) )

上面的代码片段生成了与下面的表达式等效的输出 −

$$\frac{\sqrt\pi}{2}$$

您可以传递多个界限元组来进行多重积分。下面是一个示例 −

>>> expr=exp(-x**2 - y**2)
>>> integrate(expr,(x,0,oo),(y,0,oo))

上面的代码片段给出了与下面的表达式的等效输出−

$$\frac{\pi}{4}$$

您可以使用Integral对象创建未评估的积分，可以通过调用doit()方法进行评估。

>>> expr = Integral(log(x)**2, x) 
>>> expr

上面的代码片段的输出等同于下面的表达式 −

$$\int \mathrm\log(x)^2 \mathrm{d}x$$

>>> expr.doit()

上面的代码片段产生的输出与下面的表达式等效−

$$x\log(x)^2 – 2xlog(x) + 2x$$

积分变换

SymPy支持以下各种类型的积分变换−

• laplace_transform
• fourier_transform
• sine_transform
• cosine_transform
• hankel_transform

这些函数定义在sympy.integrals.transforms模块中。以下示例分别计算傅里叶变换和拉普拉斯变换。

示例1

>>> from sympy import fourier_transform, exp 
>>> from sympy.abc import x, k 
>>> expr=exp(-x**2) 
>>> fourier_transform(expr, x, k)

在python shell中执行上述命令，将生成以下输出−

sqrt(pi)*exp(-pi**2*k**2)

等价于−

$$\sqrt\pi * e^{\pi^2k^2}$$

示例2

>>> from sympy.integrals import laplace_transform 
>>> from sympy.abc import t, s, a 
>>> laplace_transform(t**a, t, s)

在python shell中执行以上命令，将生成以下输出−

(s**(-a)*gamma(a + 1)/s, 0, re(a) > -1)