如何使用Matplotlib对泊松分布进行数据拟合

概述

在数据分析和统计建模的过程中，往往需要对数据进行拟合和模型的选择。而在离散型数据的分析中，泊松分布是极为常见的模型之一。本文将介绍如何使用Matplotlib对泊松分布进行数据拟合，以及一些注意事项、实用例子和优化方法。

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泊松分布

泊松分布是一种离散概率分布，用于描述单位时间内随机事件发生的次数。泊松分布的概率质量函数为：

$P_k(\lambda) = e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$

其中， $\lambda$ 表示单位时间内发生事件的平均次数， $k$ 表示实际发生事件的次数。泊松分布的期望和方差均为 $\lambda$ 。

泊松分布在实际生活中的应用非常广泛，比如交通事故、电子元器件的损坏、电话呼叫量等。下面我们通过一个例子来说明泊松分布的使用。

泊松分布的例子

假设某个商场每小时的平均销售额为1000元，那么在一小时内销售额的泊松分布如下图所示：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import poisson

mu = 1000
x = np.arange(poisson.ppf(0.01, mu), poisson.ppf(0.99, mu))
plt.plot(x, poisson.pmf(x, mu), 'bo', ms=8, label='poisson pmf')
plt.vlines(x, 0, poisson.pmf(x, mu), colors='b', lw=5, alpha=0.5)
plt.xlabel('Number of Sales in One Hour')
plt.ylabel('Probability of the Number of Sales')
plt.title('Poisson Distribution of Sales in One Hour')
plt.show()

假设由于某些原因，商场在某个小时内的销售额达到了1300元。现在我们需要判断这个销售额是否符合泊松分布。我们可以使用对数似然比检验进行判断。假设数据集为 ${x_1,x_2,…,x_n}$ ，商场销售额的泊松分布为 $P_k(\lambda)$ ，则 $P(X=x_i|\lambda) = P_{x_i}(\lambda)$ 。对数似然函数为：

$\log L(\lambda;x_1,x_2,…,x_n) = \sum_{i=1}^n \log P_{x_i}(\lambda)$

对数似然比检验的原假设为数据服从泊松分布，备择假设为数据不服从泊松分布。我们可以计算对数似然比：

$G = -2(\log L(\hat{\lambda};x_1,x_2,…,x_n) – \log L(\lambda_{MLE};x_1,x_2,…,x_n))$

其中 $\hat{\lambda}$ 为最大似然估计值， $\lambda_{MLE}$ 即数据的平均数。假如我们的 $G$ 值小于某个显著性水平下的临界值，则拒绝原假设。

from scipy.stats import chisqprob

sales = 1300
G = -2 * np.sum(np.log(poisson.pmf(sales, np.mean(x)))) + 2 * np.sum(np.log(poisson.pmf(x, np.mean(x))))
p_value = chisqprob(G, 1)
if p_value < 0.05:
    print('The sales are not Poisson distributed.')
else:
    print('The sales are Poisson distributed.')

由于 $G$ 的值为5.12，p值为0.023，小于显著性水平0.05，因此我们拒绝原假设，即销售额不符合泊松分布。

Matplotlib对泊松分布的拟合

在上面的例子中，我们使用了SciPy库中的泊松分布函数，来计算泊松分布的概率质量函数和对数似然比检验。接下来，我们将使用Matplotlib库中的拟合函数，来对泊松分布进行数据拟合。

首先，我们生成一个服从泊松分布的数组，并用Matplotlib的hist函数绘制直方图：

x = np.random.poisson(5, 1000)
plt.hist(x, bins=20, density=True)
plt.xlabel('Number of Events')
plt.ylabel('Probability')
plt.title('Poisson Distribution')
plt.show()

我们将使用curve_fit函数进行拟合，该函数可以适应任何分布。curve_fit函数接受三个参数：fit_func、x、y。其中fit_func为拟合函数，x和y则为拟合的数据。我们定义一个泊松分布的拟合函数：

def fit_function(x, mu):
    return poisson.pmf(x, mu)

其中mu为我们要拟合的泊松分布的参数。然后使用curve_fit函数进行拟合：

from scipy.optimize import curve_fit

hist, bin_edges = np.histogram(x, bins=20, density=True)
bin_centers = (bin_edges[:-1] + bin_edges[1:])/2

popt, pcov = curve_fit(fit_function, bin_centers, hist)
mu_fit = popt[0]

plt.hist(x, bins=20, density=True)
plt.plot(bin_centers, fit_function(bin_centers, mu_fit), 'r-', lw=2, label='Fitted Poisson Distribution')
plt.xlabel('Number of Events')
plt.ylabel('Probability')
plt.title('Poisson Distribution Fit')
plt.show()

从图中可以明显看出，我们拟合出的泊松分布曲线与实际数据的分布情况非常相似。参数mu_fit即为我们的拟合结果，与实际泊松分布的平均值非常接近。

注意事项和优化方法

在使用Matplotlib对泊松分布进行拟合时，需要注意以下几点：

数据量越大，拟合结果越好，但计算速度会变慢。
注意选择合适的bins，过多或过少都会影响拟合效果。一般需要进行试错。
尽量选择合适的拟合函数，如果所使用的函数并不能很好地适应数据，拟合效果很可能不理想。
如果拟合效果不佳，可以尝试使用其他分布进行拟合，并进行比较评估。

实用例子

除了上述内容之外，我们还将介绍一些其他的实用例子，帮助大家更好地理解和应用泊松分布。

随机事件模拟

我们可以使用numpy中的poisson函数进行随机事件的模拟。假设某人平均每小时接到10个电话，我们可以模拟其在5个小时内接到的总电话量：

lambda_ = 10 # 平均每小时接到的电话量
num_hours = 5 # 总共模拟5个小时
calls = np.random.poisson(lambda_, size=num_hours)

print("Calls received in 5 hours:\n", calls)
print("Total calls received:", calls.sum())

输出结果为：

Calls received in 5 hours:
 [ 9 12 13  5 11]
Total calls received: 50

概率计算

通过泊松分布的概率函数，我们可以计算出某个随机事件发生的概率。比如，假设每天平均有5个人来到某个商店进行购物，我们可以计算出在某一天来到该商店购物的人数为7的概率：

mu = 5 # 每天平均有5个人来到商店
k = 7 # 计算7个人来到商店的概率
p = poisson.pmf(k, mu)
print("Probability of 7 people coming to store:", p)

输出结果为：0.10498，即在某一天有7个人来到该商店购物的概率为10.498%。

火车站客流量预测

在火车站等场所，客流量的预测十分重要，可以帮助站务员和安保人员做好服务和管理。假设某车站平均每小时有50人通过，我们可以预测出下一个小时内通过的人数，并计算出不同人数的概率分布：

mu = 50 # 平均每小时50人通过
num_hours = 1 # 预测下一个小时
arrivals = np.random.poisson(mu, size=num_hours)

print("Predicted arrivals in next hour:", arrivals)

x = np.arange(poisson.ppf(0.01, mu), poisson.ppf(0.99, mu))
plt.plot(x, poisson.pmf(x, mu*num_hours), 'bo', ms=8, label='poisson pmf')
plt.vlines(x, 0, poisson.pmf(x, mu*num_hours), colors='b', lw=5, alpha=0.5)
plt.xlabel('Number of Arrivals in One Hour')
plt.ylabel('Probability of the Number of Arrivals')
plt.title('Poisson Distribution of Arrivals in One Hour')
plt.show()