如何解线性方程组(一)之特解和通解,我们介绍了方程组的一般形式,例如:
a11x1+⋅⋅⋅+a1nxn=b1...am1x1+⋅⋅⋅+amnxn=bm
其中aij∈R和bi∈R为已知常数,xj为未知数,i = 1,…,m, j = 1,…n。到目前为止,我们看到矩阵可以作为一种紧凑的方式来表示线性方程组,因此我们可以写成Ax = b。此外,我们定义了基本的矩阵运算,如矩阵的加法和乘法。下面,我们将着重于求解线性方程组。
特解和通解
在讨论如何一般地解线性方程组之前,让我们来看一个例子。考虑方程组:
[100182−412]⎣⎡x1x2x3x4⎦⎤=[428]
方程组1
方程组1有两个方程和四个未知数。因此,通常我们期望无穷多个解。这个方程组的形式特别简单,前两列由1和0组成。记住我们要找到标量x1,…x4,i=1∑4xici=b,其中其中ci定义为矩阵的第i列,b定义为方程组1的右边。
方程组1中的问题的解决方案可以用42乘以第一列和8乘以第二列:
b=[428]=42[10]+8[01]
因此,一个解是[42,8,0,0]T。这个解叫做特殊解或特解。然而,这并不是线性方程组的唯一解。为了获得所有其他解,我们需要创造性地使用矩阵的列以非平凡的方式生成0:将0添加到我们的特解并不会改变特解。为此,我们使用前两列表示第三列(它们的形式非常简单):
[82]=8[10]+2[01]
所以0=8c1+2c2−1c3+0c4,(x1,x2,x3,x4)=(8,2,−1,0)。事实上,这个解决方案的任何扩展λ1∈R产生0向量,例如:
[100182−412](λ1⎣⎡82−10⎦⎤)=λ1(8c1+2c2−c3)=0
按照同样的推理,我们使用方程组1中的前两列表示矩阵的第四列,并生成另一组:
[100182−412](λ2⎣⎡−4120−1⎦⎤)=λ2(−4c1+12c2−c4)=0
对于任何λ2∈R ,把一切放在一起,我们获得方程组1的所有解,叫做通解:
![如何解线性方程组(一)之特解和通解 如何解线性方程组(一)之特解和通解](https://img.geek-docs.com/mathematical-basis/linear-algebra/general-solution.png)
我们遵循的一般方法包括以下内容
三个步骤:
- 求Ax = b的特解。
- 求Ax = 0的所有解。
- 结合步骤1和2的解决方案成为通解
通解和特解都不是唯一的。事实上,上述问题中的矩阵形状很好。我们可以很轻松的找出特解和通解。但在现实生活中,大部分矩阵没有这么好的形状,不过我们有一个解决它的利器—–高斯消元法