如何解线性方程组(一)之特解和通解

如何解线性方程组(一)之特解和通解,我们介绍了方程组的一般形式,例如:
a11x1++a1nxn=b1...am1x1++amnxn=bma_{11}x_1 + · · · + a_{1n}x_n = b_1 \\ . \\ . \\ . \\ a_{m1}x_1 + · · · + a_{mn}x_n = b_m
其中aijRa_{ij}∈RbiRb_i∈R为已知常数,xjx_j为未知数,i = 1,…,m, j = 1,…n。到目前为止,我们看到矩阵可以作为一种紧凑的方式来表示线性方程组,因此我们可以写成Ax = b。此外,我们定义了基本的矩阵运算,如矩阵的加法和乘法。下面,我们将着重于求解线性方程组。

特解和通解

在讨论如何一般地解线性方程组之前,让我们来看一个例子。考虑方程组:
[108401212][x1x2x3x4]=[428]\begin{bmatrix} 1&0&8&-4 \\ 0&1&2&12 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 42 \\ 8 \end{bmatrix}
方程组1

方程组1有两个方程和四个未知数。因此,通常我们期望无穷多个解。这个方程组的形式特别简单,前两列由1和0组成。记住我们要找到标量x1x4x_1,…x_4,i=14xici=b\sum_{i=1}^4{x_i}{c_i}=b,其中其中cic_i定义为矩阵的第i列,b定义为方程组1的右边。
方程组1中的问题的解决方案可以用42乘以第一列和8乘以第二列:
b=[428]=42[10]+8[01]b=\begin{bmatrix} 42 \\ 8 \end{bmatrix}={42}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + {8}\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}
因此,一个解是[42,8,0,0]T[42,8,0,0]^T。这个解叫做特殊解或特解。然而,这并不是线性方程组的唯一解。为了获得所有其他解,我们需要创造性地使用矩阵的列以非平凡的方式生成0:将0添加到我们的特解并不会改变特解。为此,我们使用前两列表示第三列(它们的形式非常简单):
[82]=8[10]+2[01]\begin{bmatrix} 8 \\ 2 \end{bmatrix}={8}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + {2}\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}
所以0=8c1+2c21c3+0c4,(x1,x2,x3,x4)=(8,2,1,0)0 = 8c_1 + 2c_2 − 1c_3 + 0c_4 , (x_1, x_2, x_3, x_4) = (8, 2, −1, 0)。事实上,这个解决方案的任何扩展λ1∈R产生0向量,例如:
[108401212](λ1[8210])=λ1(8c1+2c2c3)=0\begin{bmatrix} 1&0&8&-4 \\ 0&1& 2&12 \end{bmatrix}(λ1\begin{bmatrix} 8 \\ 2 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix})= λ1(8c_1 + 2c_2 − c_3) = 0
按照同样的推理,我们使用方程组1中的前两列表示矩阵的第四列,并生成另一组:
[108401212](λ2[41201])=λ2(4c1+12c2c4)=0\begin{bmatrix} 1&0&8&-4 \\ 0&1& 2&12 \end{bmatrix}(λ2\begin{bmatrix} -4 \\ 12 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix})= λ2(−4c_1 + 12c_2 − c_4) = 0
对于任何λ2∈R ,把一切放在一起,我们获得方程组1的所有解,叫做通解:
如何解线性方程组(一)之特解和通解

我们遵循的一般方法包括以下内容
三个步骤:

  • 求Ax = b的特解。
  • 求Ax = 0的所有解。
  • 结合步骤1和2的解决方案成为通解

通解和特解都不是唯一的。事实上,上述问题中的矩阵形状很好。我们可以很轻松的找出特解和通解。但在现实生活中,大部分矩阵没有这么好的形状,不过我们有一个解决它的利器—–高斯消元法

Python教程

Java教程

Web教程

数据库教程

图形图像教程

大数据教程

开发工具教程

计算机教程

登录

注册