极客教程如何解线性方程组(一)之特解和通解,我们介绍了方程组的一般形式,例如：
a_{11}x_1 + · · · + a_{1n}x_n = b_1 \\
. \\
. \\
. \\
a_{m1}x_1 + · · · + a_{mn}x_n = b_m
其中a_{ij}∈R和b_i∈R为已知常数，x_j为未知数，i = 1，…,m, j = 1，…n。到目前为止，我们看到矩阵可以作为一种紧凑的方式来表示线性方程组，因此我们可以写成Ax = b。此外，我们定义了基本的矩阵运算，如矩阵的加法和乘法。下面，我们将着重于求解线性方程组。
特解和通解
在讨论如何一般地解线性方程组之前，让我们来看一个例子。考虑方程组：
\begin{bmatrix}
1&0&8&-4 \\
0&1&2&12
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
x_4
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
42 \\
8
\end{bmatrix}
方程组1
方程组1有两个方程和四个未知数。因此，通常我们期望无穷多个解。这个方程组的形式特别简单，前两列由1和0组成。记住我们要找到标量x_1，…x_4,\sum_{i=1}^4{x_i}{c_i}=b,其中其中c_i定义为矩阵的第i列，b定义为方程组1的右边。
方程组1中的问题的解决方案可以用42乘以第一列和8乘以第二列：
b=\begin{bmatrix}
42 \\
8
\end{bmatrix}={42}\begin{bmatrix}
1 \\
0
\end{bmatrix} + {8}\begin{bmatrix}
0 \\
1
\end{bmatrix}
因此，一个解是[42,8,0,0]^T。这个解叫做特殊解或特解。然而，这并不是线性方程组的唯一解。为了获得所有其他解，我们需要创造性地使用矩阵的列以非平凡的方式生成0:将0添加到我们的特解并不会改变特解。为此，我们使用前两列表示第三列(它们的形式非常简单)：
\begin{bmatrix}
8 \\
2
\end{bmatrix}={8}\begin{bmatrix}
1 \\
0
\end{bmatrix} + {2}\begin{bmatrix}
0 \\
1
\end{bmatrix}
所以0 = 8c_1 + 2c_2 − 1c_3 + 0c_4 , (x_1, x_2, x_3, x_4) = (8, 2, −1, 0)。事实上,这个解决方案的任何扩展λ1∈R产生0向量,例如：
\begin{bmatrix}
1&0&8&-4 \\
0&1& 2&12
\end{bmatrix}(λ1\begin{bmatrix}
8 \\
2 \\
-1 \\
0
\end{bmatrix})= λ1(8c_1 + 2c_2 − c_3) = 0
按照同样的推理，我们使用方程组1中的前两列表示矩阵的第四列，并生成另一组：
\begin{bmatrix}
1&0&8&-4 \\
0&1& 2&12
\end{bmatrix}(λ2\begin{bmatrix}
-4 \\
12 \\
0 \\
-1
\end{bmatrix})= λ2(−4c_1 + 12c_2 − c_4) = 0
对于任何λ2∈R ,把一切放在一起,我们获得方程组1的所有解,叫做通解：
我们遵循的一般方法包括以下内容
三个步骤:
- 求Ax = b的特解。
- 求Ax = 0的所有解。
- 结合步骤1和2的解决方案成为通解
通解和特解都不是唯一的。事实上，上述问题中的矩阵形状很好。我们可以很轻松的找出特解和通解。但在现实生活中，大部分矩阵没有这么好的形状，不过我们有一个解决它的利器—–高斯消元法