如何解线性方程组(三)之Minus-1 Trick

如何解线性方程组(三)之Minus-1 Trick,在下面,我们介绍了一个实用的技巧来读出一个齐次线性方程组Ax = 0的解x,其中ARk×n,xRnA ∈ R^{k×n}, x ∈ R^n

首先,我们假设A是行简化阶梯形,没有任何只包含0的行,例如:
如何解线性方程组(三)之Minus-1 Trick
在这里,∗ 可以是任意的实数,并且每一行的第一个非零项必须为1,而对应列中的所有其他项必须为0。列j1jkj_1,…,j_k与枢轴(粗体标记)是标准单位向量e1,...,ekRe_1, . . . , e_k ∈ R。我们通过添加n−k行下面这个形式把矩阵扩展到一个n×n矩阵A˜:
[00100]\begin{bmatrix} 0&…&0&-1&0&…& 0 \end{bmatrix}
被增加的矩阵行

所以增广矩阵A˜的对角线包含1或- 1。
然后,以- 1为轴心的A˜的列为齐次方程组Ax = 0的解。更精确地说,这些列构成了Ax = 0的解空间的基础,我们稍后将其称为内核空间或空空间。

例:我们再来看看下面这个矩阵:
[130030010900014]\begin{bmatrix} 1&3&0&0 &3 \\ 0&0&1&0 &9 \\ 0&0&0&1 &-4 \end{bmatrix}
现在,我们通过在对角线上的枢轴缺失的地方添加[00100]\begin{bmatrix} 0&…&0&-1&0&…& 0 \end{bmatrix}的行,将这个矩阵增广为5×5矩阵,得到:
如何解线性方程组(三)之Minus-1 Trick
从这个形式中,我们可以立即读出Ax = 0的解:取A˜对角线上含有-1的列:
如何解线性方程组(三)之Minus-1 Trick

计算逆
为了计算ARn×nA∈R^{n×n}的逆A1A^{-1},我们需要找到一个满足AX=InAX = I_n的矩阵X。然后,X=A1X = A^{-1}。我们可以把它写成一组线性方程组AX=InAX = I_n,其中我们解出X=[x1xn]X =[x_1 |… |x_n]。我们用增广矩阵表示法来表示这组线性方程组的紧凑表示,并得到:
如何解线性方程组(三)之Minus-1 Trick
这意味着如果我们把增广方程组化成行简化阶梯形,我们就能读出方程组右边的逆矩阵。因此,确定矩阵的逆等价于求解线性方程组。

例:用高斯消元法计算逆矩阵
为了求得A的逆,其中A为:[1020110012011111]\begin{bmatrix} 1&0&2&0 \\ 1&1&0&0 \\ 1&2&0&1 \\ 1&1&1&1 \end{bmatrix},我们写下增广矩阵:如何解线性方程组(三)之Minus-1 Trick,然后用高斯消元法把它化成行简化阶梯形如何解线性方程组(三)之Minus-1 Trick,这样所要求的逆就是它的右边:
A1=[1222112211111012]A^{-1}=\begin{bmatrix} -1&2&-2&2 \\ 1&-1&2&-2 \\ 1&-1&1&-1 \\ -1&0&-1&2 \end{bmatrix}
我们可以通过乘法AA1AA^{-1}来验证确实是逆:因为我们得到了AA1=I4AA^{-1}=I_4

总结-如何解决线性方程组?
对于一个线性方程组Ax=b:

  • 当矩阵A为方阵且可逆时,x=A1bx=A^{−1}b
  • 矩阵A不是一个方阵,或者A是一个不可逆的方阵时,那么:x=(ATA)1ATbx=(A^T A)^{-1}A^Tb。其中(ATA)1AT(A^T A)^{-1}A^T为Moore-Penrose逆矩阵,也就是常说的伪逆。但由于上述方法耗费时间很久,所以实际运用时会使用迭代法来求解。

Python教程

Java教程

Web教程

数据库教程

图形图像教程

大数据教程

开发工具教程

计算机教程

登录

注册