群

群在计算机科学中扮演着重要的角色。除了为集合上的操作提供一个基本框架外，它们还在密码学、编码理论和图形学中得到了广泛的应用。

定义(群)
假定我们有个集合$$ð$$和一个定义在集合$$ð$$上的操作⊗:$$ð×ð→ð$$ 。
那么$$G:=(ð,⊗)$$，如果满足：

• 封闭性：$$∀x,y∈ð,x⊗y∈ð$$
• 结合律：$$∀x,y,z∈ð,(x⊗y)⊗z=x⊗(y⊗z)$$
• 单位元：$$∃e∈ð,∀x∈ð,x⊗e=x且e⊗x=x$$
• 逆元：$$∀x∈ð,∃y∈ð,x⊗y=e且y⊗x=e$$

则称$$G:=(ð,⊗)$$为一个群。或者乘法群。有时由于上下文的原因，群上的二元运算亦可为加法，此时该运算通常记为 + ，群元素的运算也被记为如同x+y 的形式，而群也可被称为加法群。此种情况下，往往加法还有可交换的性质。

此外，如果还满足：
$$∀x,y∈ð,x⊗y=y⊗x$$,那么就称其为Abelian群。

例1：
G={1,-1}在普通乘法下是群。
证：
1)封闭性：1×1=1 (-1)×(-1)=1 (-1)×1=-1 1×(-1)=-1
2)结合律：成立
3)单位元：1
4)逆元素：1的逆元是1，-1的逆元是-1

例2：
G={0,1,2,,…..,n-1}在mod n的加法下是群。
证：
1)封闭性：除以n的余数只能是 {0,1,2,,…..,n-1}，故封闭性成立
2)结合律：成立
3)单位元：0
4)逆元素：对任意元素a有 [a+(n-a)] mod n=0，a的逆元 $$a^{-1}$$=n-a。

置换群
定义 G为集合{1,2,3,…,n} 上所有双射的集合，并定义合成映射:

这里 x 是{1,2,3,…,n} 的任意元素。构成一个群，这个群被称为置换群，记为 Sym(n)或$$S_n$$。
例集合{1,2,3}的三个元素置换群组成 $$S_3$$ .

一般线性群
定义 G 为所有n阶实可逆方阵的集合，乘法 . 为矩阵乘法，则 (G,.) 构成一个群。
这个群称为一般线性群，记为 $$GL_n(R)$$。

有了群的概念，我们就可以定义向量空间的概念了。