如何解线性方程组(二)之初等变换

如何解线性方程组(二)之初等变换,上一节中我们提到高斯消元法，高斯消元法的核心就是矩阵的初等变换。在初等变换的过程中，线性方程组的解集是不会发生变化的。这种性质保证了我们能够通过初等变换来把矩阵变换成一个简单的形式。

矩阵初等变换有三种：

• 交换两行（方程）
• 对一行（方程）乘以一个常数λ∈R\{0}
• 两行（方程）相加

例1：
对于a∈R，我们求以下方程组的所有解：
−2x_1 + 4x_2 − 2x_3 − x_4 + 4x_5 = −3 \\
4x_1 − 8x_2 + 3x_3 − 3x_4 + x_5 = 2 \\
x_1 − 2x_2 + x_3 − x_4 + x_5 = 0 \\
x_1 − 2x_2 − 3x_4 + 4x_5 = a
方程组1

我们从把这个方程组转换成紧凑矩阵符号Ax = b。
我们不再显式地提到变量x，而是构建增广矩阵(形式为A | b)：

增广矩阵，[A | b]简洁地表示了线性方程组Ax = b

我们用竖线把左边和右边分开。我们用 –> 表示增广矩阵的初等变换。
交换第1,3行得到：

当我们现在应用指定的转换(例如，从第2行减去第1行4次)时，我们得到：

这个(增广)矩阵是一个方便的形式，行阶梯形矩阵(REF)。将这个紧凑的表示法还原为显式表示法，并使用我们所寻找的变量，我们得到：

REF

只有当a= – 1时，才能解出这个方程组。特解是:
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
x_4 \\
x_5
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
2 \\
0 \\
-1 \\
1 \\
0
\end{bmatrix}
通解，也就是所有可能解的集合，是:

下面，我们将详细介绍一种构造方法来获得线性方程组的特解和通解。

备注(枢轴和楼梯结构)。行首系数(从左起的第一个非零数)称为枢轴，并且总是严格地位于其上一行的枢轴的右侧。因此，任何行梯队形式的方程组都具有“阶梯”结构。
什么叫行阶梯型矩阵形式：一个矩阵是行阶梯形，如果以下条件成立：

• 所有只包含0的行都在矩阵的底部;相应地，所有包含至少一个非零元素的行都位于只包含零的行之上。
• 只看非零行，从左起的第一个非零数(也称为主元或领先系数)总是严格地在它上面一行的主元的右边。

备注(基本变量和自由变量)。与行阶梯形中轴对应的变量称为基本变量，其他变量称为自由变量。例如，在REF中，x_1、x_3、x_4是基本变量，而x_2、x_5是自由变量。

备注(求特解).阶梯形使我们在需要确定特解时更容易。为了做到这一点，我们用主元表示方程组的右边
列,使得b =\sum_{i=1}^p{λ_i}{p_i}，其中i = 1，…P是主列。如果我们从最右侧的枢轴列开始，然后向左工作，则 λ_i 是最容易确定的。
在前面的示例中,我们将试图找到λ_1,λ_2,λ_3,这样:

从这里,我们发现相对直接的λ_3 = 1,λ_2 =−1,λ_1 = 2。当我们把所有的东西放在一起，我们一定不能忘记非主列，我们把系数隐式地设为0。因此，我们得到特解x =[2,0，- 1,1,0]^T。

备注(行简化阶梯形)。如果一个方程组是行简化阶梯形(也可以是行简化阶梯形或行正则形式):

• 它是行阶梯形。
• 每个主元是1
• 主元是它所在列中唯一的非零元素

行简化阶梯形将在下节中发挥重要作用，因为它允许我们以一种直接的方式确定线性方程组的通解。

备注(高斯消元法)。高斯消元法是一种将线性方程组转化为行简化阶梯形的基本变换算法。

例：行简化阶梯形
验证以下矩阵为行简化阶梯形:
A=
\begin{bmatrix}
1&3&0&0&3 \\
0&0&1&0&9 \\
0&0&0&1&-4
\end{bmatrix}
求Ax = 0解的关键思想是看非主列，我们需要用主列的(线性)组合来表示。行简化阶梯形使得这个相对简单，我们用和来表示非主列以及它们左边主列的倍数:第二列等于3乘以第一列(我们可以忽略第二列右边的主列)。因此，为了得到0，我们需要用第一列的三倍减去第二列。现在，我们看第五列，这是第二个非主列。第五列可以表示为3乘以第一主列，9乘以第二主列，- 4乘以第三主列。我们需要跟踪主列的指标把它转化成3乘以第一列，0乘以第二列(这是非主列),9乘以第三列(也就是第二个主列)和-4乘以第四列(即第三个主列)。然后我们需要减去第五列得到0。最后，我们仍在求解一个齐次方程系统。
综上所述，Ax = 0, x∈R^5的所有解由