Matplotlib 绘制逻辑回归分类的决策边界

在机器学习领域，分类问题是非常常见的，而逻辑回归则是其中最为基础的算法之一。对于二元分类问题，逻辑回归在预测时会输出一些数值，然后通过一个阈值来进行分类。

但是，仅仅有着预测结果是远远不够的，我们还需要知道该分类器是如何做出这样的预测的，即需要了解该分类器的决策边界。因此，在本文中，我们将会讲述如何使用Matplotlib来画出逻辑回归分类的决策边界。

阅读更多：Matplotlib 教程

逻辑回归的背景知识

逻辑回归是一种广义线性模型，通常用于处理二元分类问题。它的基本原理是将输入特征向量线性组合后，再通过一个激活函数进行非线性映射，输出的结果就可以作为预测结果。

逻辑回归的激活函数是Sigmoid函数，数学表达式如下：

$\sigma(z) = \frac{1}{1+e^{-z}}$

其中， $z = \theta^Tx$ ， $\theta$ 是参数向量， $x$ 是输入特征向量。

逻辑回归模型的训练过程就是通过一些优化算法对参数向量 $\theta$ 进行求解的过程。求出 $\theta$ 后，分类器就可以通过以下公式进行预测：

$h_{\theta}(x) = \sigma(\theta^Tx)$

其中， $h_{\theta}(x)$ 表示对于输入 $x$ ，逻辑回归分类器输出的预测值。

绘制决策边界的思路

通过上述的概念知识，我们可以得知逻辑回归的模型是向量 $x$ 到输出预测值 $y$ 的映射，即可以将逻辑回归看作对平面上的点进行了一个二元分类。

于是，我们可以通过以下流程来绘制逻辑回归的决策边界：

首先，对于训练集中的所有数据点，求出其在逻辑回归预测函数中的预测值。
然后，将这些点按照预测值的大小进行分类，将大于等于0.5的预测值归到类别1，小于0.5的预测值归到类别0。
最后，将这些数据点在平面上进行绘制，并划分出两类数据点的区域。这个区域的边界，即是逻辑回归分类器的决策边界。

使用Matplotlib进行绘制

下面我们将使用Python中的Matplotlib库来实现上述的思路。

首先，我们需要生成一些随机的训练数据点，并将这些点绘制在平面上。

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# 生成随机的训练数据点
np.random.seed(0)
X = np.random.randn(50, 2)
y = np.logical_xor(X[:, 0] > 0, X[:, 1] > 0)

# 绘制数据点
plt.scatter(X[y == 0, 0], X[y == 0, 1], color='blue')
plt.scatter(X[y == 1, 0], X[y == 1, 1], color='red')
plt.xlabel('Feature 1')
plt.ylabel('Feature 2')
plt.show()

我们可以看到，上述代码生成了一个包含50个点的随机数据集，并将其绘制在平面上。其中，蓝色的点表示类别0，红色的点表示类别1。

接下来，我们需要使用逻辑回归模型进行训练，并根据模型输出的预测值绘制出决策边界。

为了方便绘制，我们定义了一个名为plot_decision_boundary()的函数，该函数接收训练数据X、训练标签y以及训练好的逻辑回归模型作为输入参数，然后根据上述流程绘制出决策边界。

下面是完整的代码：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from sklearn.linear_model import LogisticRegression

def plot_decision_boundary(X, y, model):
    # 绘制数据点
    plt.scatter(X[y == 0, 0], X[y == 0, 1], color='blue')
    plt.scatter(X[y == 1, 0], X[y == 1, 1], color='red')
    plt.xlabel('Feature 1')
    plt.ylabel('Feature 2')

    # 绘制决策边界
    x_min, x_max = X[:, 0].min() - 0.1, X[:, 0].max() + 0.1
    y_min, y_max = X[:, 1].min() - 0.1, X[:, 1].max() + 0.1
    xx, yy = np.meshgrid(np.linspace(x_min, x_max, 100),
                         np.linspace(y_min, y_max, 100))
    Z = model.predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])
    Z = Z.reshape(xx.shape)
    plt.contour(xx, yy, Z, levels=[0.5], linestyles='dashed')
    plt.show()

# 生成随机的训练数据点
np.random.seed(0)
X = np.random.randn(50, 2)
y = np.logical_xor(X[:, 0] > 0, X[:, 1] > 0)

# 训练逻辑回归模型
clf = LogisticRegression()
clf.fit(X, y)

# 绘制决策边界
plot_decision_boundary(X, y, clf)

我们可以看到，图像中黑色虚线所表示的边界即是逻辑回归分类器的决策边界，将平面分为类别0（蓝色）和类别1（红色）两个部分。同时，我们也可以看到，逻辑回归分类器对于这个问题的分类效果还是比较好的。