SymPy 计算符号特征值

在本文中，我们将介绍使用SymPy库进行符号特征值计算的方法。SymPy是一个功能强大的Python库，用于进行符号数学计算，包括符号代数、微积分、方程求解等。通过SymPy，我们可以轻松地处理符号计算问题，而不需要进行数值近似。

阅读更多：SymPy 教程

符号特征值

在线性代数中，特征值是一个非常重要的概念。给定一个n维方阵A，如果存在一个标量λ和非零向量v，使得以下等式成立：

Av = λv

其中，λ被称为特征值，v被称为特征向量。特征值和特征向量对于许多数学和物理问题具有重要意义。在实际应用中，我们通常需要计算一个方阵的特征值。

SymPy符号特征值计算

SymPy库提供了一个简单而强大的方法来计算方阵的符号特征值。我们可以使用sympy.symbols函数定义符号变量，并使用sympy.Matrix函数创建方阵。

接下来，让我们通过一个示例来演示SymPy计算符号特征值的过程。假设我们有一个2×2的方阵A，其元素由符号变量表示：

A = Matrix([[a, b], [c, d]])

我们可以使用sympy.eigenvals函数计算方阵A的特征值的字典。该字典以特征值作为键，以其对应的代数重数作为值。

from sympy import symbols, Matrix

a, b, c, d = symbols('a b c d')
A = Matrix([[a, b], [c, d]])
eigenvalues = A.eigenvals()

print(eigenvalues)

运行以上代码，我们可以得到方阵A的特征值的字典表示。

特征值的代数重数

在特征值计算中，除了特征值本身，特征值的代数重数也是一个重要的概念。特征值的代数重数是指特征值作为多项式根的重数。对于一个n维方阵，每个特征值的代数重数不会超过n。

在SymPy中，我们可以使用sympy.Matrix.eigenvals函数计算特征值的代数重数。

让我们通过一个示例来演示特征值的代数重数的计算。假设我们有一个3×3的方阵B，其元素由符号变量表示：

B = Matrix([[a, b, c], [d, e, f], [g, h, i]])

我们可以使用B.eigenvals函数计算方阵B的特征值的代数重数。

特征向量的计算

在特征值计算中，特征向量是与特征值相关联的非零向量。通过计算特征向量，我们可以更好地理解特征值的几何意义。

在SymPy中，我们可以使用sympy.Matrix.eigenvects方法计算方阵的特征向量。该方法返回一个列表，列表中的每个元素由特征值、特征值的代数重数和对应的特征向量组成。

让我们通过一个示例来演示特征向量的计算。假设我们有一个2×2的方阵C，其元素由符号变量表示：

C = Matrix([[a, b], [c, d]])

我们可以使用C.eigenvects方法计算方阵C的特征向量。

示例演示

下面，让我们通过一个完整的示例演示SymPy库的符号特征值计算功能。

from sympy import symbols, Matrix

a, b, c, d = symbols('a b c d')
A = Matrix([[a, b], [c, d]])
eigenvalues = A.eigenvals()
eigenvectors = A.eigenvects()

print("特征值：")
print(eigenvalues)

print("特征向量：")
for eigenvalue, multiplicity, vectors in eigenvectors:
    print("特征值：", eigenvalue)
    print("代数重数：", multiplicity)
    for vector in vectors:
        print("特征向量：", vector)

运行以上代码，我们可以得到方阵A的符号特征值和特征向量的计算结果。