SymPy: 使用 sympy 在特定点求解雅各比矩阵

在本文中，我们将介绍如何使用 SymPy 库中的函数来求解雅可比矩阵，并在特定点上进行求值。雅可比矩阵是一个非常重要的数学工具，在微积分和机器学习等领域都有广泛的应用。通过本文的学习，您将了解如何在使用 Python 编程语言时利用 SymPy 库来计算雅可比矩阵，并在指定的点上求值。

阅读更多：SymPy 教程

什么是雅可比矩阵

雅可比矩阵是由多元函数的一阶偏导数组成的矩阵。对于一个由 x1, x2, …, xn 这 n 个自变量和由 f1, f2, …, fm 这 m 个因变量组成的函数系统，雅可比矩阵的定义如下：

J = ∂(f1, f2, …, fm) / ∂(x1, x2, …, xn)

其中 J 为一个 m×n 的矩阵。雅可比矩阵中的每个元素都是一个偏导数，表示了因变量关于自变量的变化率。雅可比矩阵在数学和工程中都有广泛的应用，特别是在微分几何、控制理论和机器学习中。

使用 Sympy 计算雅可比矩阵

SymPy 是一个用于符号计算的 Python 库，它提供了丰富的数学函数和结构，可以方便地进行符号运算和数学推导。在 SymPy 中，我们可以使用 Matrix 类来表示矩阵和向量，利用 diff 函数来求解偏导数。

首先，让我们导入 SymPy 并定义一些符号变量：

from sympy import Symbol, Matrix, diff

x1 = Symbol('x1')
x2 = Symbol('x2')
x3 = Symbol('x3')

然后，我们可以定义一个函数系统，并计算其雅可比矩阵。假设我们有以下函数系统：

f1 = x12 + x23
f2 = 2x1 + 3x2 – x3
f3 = x1 + x2 + x3

f1 = x1**2 + x2**3
f2 = 2*x1 + 3*x2 - x3
f3 = x1 + x2 + x3

variables = [x1, x2, x3]
functions = [f1, f2, f3]

Jacobian_matrix = Matrix([[diff(f, var) for var in variables] for f in functions])

通过以上代码，我们成功计算得到了雅可比矩阵 Jacobian_matrix。在代码中，我们使用了列表推导式和 diff 函数来计算雅可比矩阵的每个元素，Matrix 函数用于创建一个矩阵对象。

在特定点上求解雅可比矩阵

接下来，我们将演示如何在特定点上求解雅可比矩阵的数值。假设我们要在点 (1, 2, 3) 处求解刚刚定义的函数系统的雅可比矩阵。

point = {x1: 1, x2: 2, x3: 3}
Jacobian_matrix_value = Jacobian_matrix.subs(point)

print("Jacobian matrix at point (1, 2, 3):\n", Jacobian_matrix_value)

运行以上代码，我们将得到雅可比矩阵在点 (1, 2, 3) 处求解的结果。