SymPy 多项式分解

在本文中，我们将介绍SymPy库中的多项式分解功能。多项式分解是将一个多项式表示为两个或更多个因子的乘积的过程。SymPy是一种用于符号数学计算的Python库，它提供了强大的代数操作和符号计算能力，包括多项式分解。

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SymPy 简介

SymPy 是一个用于符号数学计算的Python库。它允许我们使用符号表示数学对象，从而能够进行符号计算、代数化简、求解方程、微积分、线性代数等任务。

从SymPy 1.6版本开始，SymPy包含了一个用于多项式操作的子模块，即sympy.polys，它提供了多项式相关的功能，包括多项式分解、多项式求值、多项式的最小公倍数和最大公约数等。

多项式分解函数

SymPy中提供了一个名为factor()的函数，用于对多项式进行分解。该函数使用质因数分解的原理，将多项式表示为不可再分解的因子乘积。

使用示例

下面我们来看一个使用factor()函数的示例。假设我们要对多项式x^2 – 4 进行分解。

from sympy import symbols, factor

x = symbols('x')
expr = x**2 - 4

factored_expr = factor(expr)
print(factored_expr)

运行以上代码将输出结果为：(x – 2)(x + 2)

上述示例中，我们首先使用symbols('x')定义了一个符号变量x。然后我们定义了一个多项式表达式expr，表示x^2 – 4。接下来，我们使用factor()函数对多项式进行分解，并将结果赋值给factored_expr。最后，我们打印出分解后的结果。

多项式分解示例

让我们进一步了解多项式分解的示例。假设我们要分解多项式x^4 – 1。

from sympy import symbols, factor

x = symbols('x')
expr = x**4 - 1

factored_expr = factor(expr)
print(factored_expr)

输出结果为：(x – 1)(x + 1)(x^2 + 1)。

从输出结果可以看出，多项式x^4 – 1被分解为3个因子的乘积。

分解非整数系数的多项式

SymPy的多项式分解功能同样适用于非整数系数的多项式。让我们看一个示例，分解多项式2x^2 + x – 1。

from sympy import symbols, factor

x = symbols('x')
expr = 2*x**2 + x - 1

factored_expr = factor(expr)
print(factored_expr)

输出结果为：(2*x – 1)(x + 1)。

上述示例中，多项式2x^2 + x – 1被分解为两个因子的乘积，其中每个因子的系数可以是整数或分数。

多项式分解和展开的关系

多项式分解是将多项式表示为不可再分解的因子乘积，而多项式展开则是将多项式由乘积表示为和的形式。

SymPy提供了一个名为expand()的函数，用于对多项式进行展开。

让我们看一个示例，分解多项式(x – 1)(x + 1)并展开。

from sympy import symbols, factor, expand

x = symbols('x')
expr = (x - 1)*(x + 1)

factored_expr = factor(expr)
expanded_expr = expand(factored_expr)

print(factored_expr)
print(expanded_expr)

以上代码将输出如下结果：
分解后的结果为：(x – 1)(x + 1)
展开后的结果为：x^2 – 1

其中，factor(expr)用于分解多项式，expand(factored_expr)用于展开多项式。

从以上示例可以看出，多项式分解和展开是互逆的操作。

总结

在本文中，我们介绍了SymPy库中的多项式分解功能。通过使用factor()函数，我们可以方便地对多项式进行分解，并得到多项式的不可再分解的因子乘积形式。同时，我们也了解到多项式分解和展开是互逆的操作，SymPy提供了expand()函数用于对多项式进行展开。

SymPy库的多项式分解功能为符号数学计算提供了强大的支持，使得我们能够更灵活地处理多项式和代数运算。无论是求解方程、化简代数式还是进行符号计算，SymPy都是一个非常有用的工具。