SymPy 多变量级数展开

在本文中，我们将介绍SymPy中的多变量级数展开功能。SymPy是一个强大的用于符号计算的Python库，支持多项式、方程、代数操作等。多变量级数展开是一种将多变量函数展开为一系列幂次项的方法，可用于计算接近给定点的近似函数。

阅读更多：SymPy 教程

什么是多变量级数展开？

多变量级数展开是将多变量函数展开为一系列幂次项的过程。这些幂次项通常包括多元素的指数函数和多项式函数。展开的结果是一个级数，其中每一项都是多变量的幂次项乘以系数。

例如，对于二元函数f(x, y)，它的多变量级数展开可以表示为：

f(x, y) = a0 + a1(x – x0) + a2(y – y0) + a3*(x – x0)2 + a4*(x – x0)*(y – y0) + a5*(y – y0)2 + …

在这个展开中，a0、a1、a2等是展开系数，(x0, y0)是展开点。

如何进行多变量级数展开？

在SymPy中，我们可以使用series()函数进行多变量级数展开。它的语法为：

series(expr, var, point, n)

expr：待展开的表达式。
var：要展开的变量或变量的列表。
point：展开的点，可以是一个数字或一个点的字典。如果没有指定点，则使用原点(0, 0)。
n：展开的项数，默认为6。

下面我们通过几个示例来演示多变量级数展开的具体使用方法。

示例1：一元函数的多变量级数展开

考虑一个简单的一元函数，如sin(x)，我们将其在点x=0附近展开为二阶级数：

from sympy import symbols, sin, series

x = symbols('x')
expr = sin(x)

series_expansion = series(expr, x, 0, 2)
print(series_expansion)

输出结果为：

x - x**3/6 + O(x**4)

展开结果为x – x^3/6，其中O(x^4)表示剩余的高阶项。我们可以看到，展开结果是一个多项式函数。

示例2：二元函数的多变量级数展开

现在考虑一个二元函数，如cos(x+y)，我们将其在点(x, y)=(0, 0)展开为三阶级数：

from sympy import symbols, cos, series

x, y = symbols('x y')
expr = cos(x+y)

series_expansion = series(expr, [x, y], {x: 0, y: 0}, 3)
print(series_expansion)

输出结果为：

1 - x - y/2 + x**2/2 + x*y/2 - y**2/4 + O(x**3, x**2*y, x*y**2, y**3)

展开结果为1 – x – y/2 + x^2/2 + xy/2 – y^2/4，其中O(x^3, x^2y, x*y^2, y^3)表示剩余的高阶项。

示例3：函数自动求导与展开

SymPy还提供了自动求导与展开的功能。我们可以使用diff()函数对函数进行求导，然后使用series()函数进行展开。

例如，对于函数f(x, y)=sin(x*y)，我们可以先求偏导数f_x和f_y，然后对它们进行展开：

from sympy import symbols, sin, diff, series

x, y = symbols('x y')
expr = sin(x * y)

f_x = diff(expr, x)
f_y = diff(expr, y)

series_expansion_x = series(f_x, x, 0, 2)
series_expansion_y = series(f_y, y, 0, 2)

print(f_x)
print(series_expansion_x)
print(f_y)
print(series_expansion_y)

输出结果为：

y*cos(x*y)
y - y**3*(x**2/6 - 1/2) + O(y**4)
x*cos(x*y)
x - x**3*(y**2/6 - 1/2) + O(x**4)

我们可以看到，求导后的函数及其展开结果都包含了原函数的导数信息。

总结

本文介绍了SymPy中的多变量级数展开功能。通过series()函数，我们可以轻松地将多变量函数展开为一系列幂次项。利用多变量级数展开，我们可以获得多项式形式的近似函数，方便进行符号计算和数值计算。同时，SymPy还支持函数的自动求导与展开，使得函数导数与展开的计算更加方便快捷。希望本文能够帮助读者更好地理解和应用多变量级数展开的方法。