如何用Python做微积分？

微积分是数学的一个分支，主要研究极限、函数、导数、积分和无限级数。我们将使用SymPy库用python做微积分。SymPy是一个用于符号数学的Python库。它的目标是成为一个全功能的计算机代数系统（CAS），同时尽可能地保持代码的简单性，以便于理解和扩展。SymPy完全用Python编写。

安装:

pip install sympy

如果我们想写任何sympy表达式，首先我们必须声明它的符号变量。要做到这一点，我们可以使用以下两个函数。

• sympy.Symbol()。它用于声明一个单一的变量，将变量作为一个字符串传入其参数。
• sympy.symbols()。它是用来声明多变量的，将变量作为一个字符串传入其参数。所有的变量必须用一个空格隔开，形成一个字符串。

微分

我们可以用diff(func, var)方法来微分任何sympy表达式。参数func表示要微分的sympy表达式，var表示我们要微分的变量。

示例 1:

# Importing library
import sympy as sym
 
# Declaring variables
x, y, z = sym.symbols('x y z')
 
# expression of which we have to find derivative
exp = x**3 * y + y**3 + z
 
# Differentiating exp with respect to x
derivative1_x = sym.diff(exp, x)
print('derivative w.r.t x: ',
      derivative1_x)
 
# Differentiating exp with respect to y
derivative1_y = sym.diff(exp, y)
print('derivative w.r.t y: ',
      derivative1_y)

输出:

derivative w.r.t x:  3*x**2*y
derivative w.r.t y:  x**3 + 3*y**2

我们还可以使用diff(func, var, n)方法来寻找高阶导数。这里，参数n表示要找到的第n个导数。

示例 2:

# Finding second derivative
# of exp with respect to x
derivative2_x = sym.diff(exp, x, 2)
print('second derivative w.r.t. x: ',
      derivative2_x)
 
# Finding second derivative
# of exp with respect to y
derivative2_y = sym.diff(exp, y, 2)
print('second derivative w.r.t. y: ',
      derivative2_y)

输出:

second derivative w.r.t. x:  6*x*y
second derivative w.r.t. y:  6*y

积分

你可以通过 integrate() 函数对超越性初等和特殊函数进行不定和定积分。

不定积分的语法：sympy.integration(func, var)

定积分的语法：sympy.integration(func, (var, lower_limit, upper_limit))

参数func表示要微分的sympy表达式，var表示我们要微分的变量，lower_limit表示定积分的下限，upper_limit表示定积分的上限。

注意： ∞在SymPy中是oo。

示例 1:

# Indefinite integration of cos(x) w.r.t. dx
integral1 = sym.integrate(sym.cos(x), x)
print('indefinite integral of cos(x): ',
      integral1)
 
# definite integration of cos(x) w.r.t. dx between -1 to 1
integral2 = sym.integrate(sym.cos(x), (x, -1, 1))
print('definite integral of cos(x) between -1 to 1: ',
      integral2)
 
# definite integration of exp(-x) w.r.t. dx between 0 to ∞
integral3 = sym.integrate(sym.exp(-x), (x, 0, sym.oo))
print('definite integral of exp(-x) between 0 to ∞: ',
      integral3)

输出:

indefinite integral of cos(x):  sin(x)
definite integral of cos(x) between -1 to 1:  2*sin(1)
definite integral of exp(-x) between 0 to ∞:  1

极限

你可以用limit(function, variable, point)来计算一个函数的极限。因此，如果你想计算f(x)在x->0时的极限，你可以发出limit(f, x, 0)。

示例:

# Calculating limit of f(x) = x as x->∞
limit1 = sym.limit(x, x, sym.oo)
print(limit1)
 
# Calculating limit of f(x) = 1/x as x->∞
limit2 = sym.limit(1/x, x, sym.oo)
print(limit2)
 
# Calculating limit of f(x) = sin(x)/x as x->0
limit3 = sym.limit(sym.sin(x)/x, x, 0)
print(limit3)

输出:

oo
0
1

泰勒级数展开

我们还可以计算函数围绕某一点的泰勒级数展开。要计算f(x)围绕点x=x 0的阶数x n的展开，使用sympy.series(f, x, x 0 , n)。x 0和n可以省略，在这种情况下，将使用默认的x 0 =0和n=6。

示例:

# assign series
series1 = sym.series(sym.cos(x), x)
print(series1)
 
# assign series
series2 = sym.series(1/sym.cos(x), x, 0, 4)
print(series2)

输出:

1 - x**2/2 + x**4/24 + O(x**6)
1 + x**2/2 + O(x**4)

最后的O(x 4 )或O(x 6 )项意味着所有幂大于或等于x 4或x 6的x项被省略。