R语言 未知方差的群体平均数的两尾检验中的第二类错误

在这篇文章中，我们将介绍在未知方差的人口平均数的两尾检验中的第二类错误。

传统上，双尾检验是用于空假设检验的。空假设（μo）等于假设的平均值（μ）。如果检验统计量位于所选显著性水平的临界值范围内，我们就不能拒绝无效假设。第二类错误是指，如果基于随机样本的假设检验未能拒绝无效假设，即使真实的群体均值μo不等于假设的均值μ，也会出现这种错误。

这里的假设是群体方差σ2是未知的。让s2为样本方差。对于较大的n（通常>30），所有可能的n大小的样本的以下统计量的群体近似于具有n-1自由度（DOF）的学生t分布。

学生t分布的样本均值范围的计算方法如下。

让我们通过一个案例研究来尝试理解第二类错误

假设去年亚洲拳击手的平均体重是75.4公斤。在同一地区今年同一时间的35名拳击手的样本中，拳击手的平均体重是74.6公斤。假设样本的标准差是2.5公斤。 是否有足够的证据拒绝无效假设，即在0.05的显著性下，拳击手的平均体重与去年没有差别？

让我们先计算一下标准误差估计值

# sample size 
n = 35  
  
# sample standard deviation 
s = 2.5               
SE = s/sqrt(n); 
SE

输出

0.422577127364258

我们接下来计算样本平均数的下限和上限，对于这些样本平均数，无效假设μo = 74.6不会被拒绝。在输出中， 73.74 是下限，而 75.45 是上限。

# significance level 
alpha = .05     
  
# hypothetical mean 
mu0 = 15.4           
I = c(alpha/2, 1-alpha/2) 
q = mu0 + qt(I, df=n-1) * SE;
q

输出

73.7412199531507      75.4587800468493

上下限表明，只要在假设检验中，样本平均值在73.741和75.458之间，就不会拒绝无效假设。由于我们假设实际的人口平均数是75.4公斤，我们可以计算出两个端点的下尾概率。

# assumed actual mean 
mu = 75.4             
p = pt((q - mu)/SE, df=n-1);
p

输出

0.000200411362802067     0.554903698326656

最后，II型错误的概率%是通过寻找两个端点之间的差异找到的两个端点之间的概率。

diff(p)

输出

0.554703286963854

这里我们可以理解为，如果拳击手的样本量为35，拳击手体重的样本标准差为2.5公斤，而人口实际平均体重为75.4公斤，那么在0.05的显著性水平下，检验无效假设μ=75.4的II型错误概率为55.47%，假设检验的力量为44.53%。