Python 负二项分布累积分布函数作图

Python 负二项分布累积分布函数作图

1. 理论介绍

在概率论中，负二项分布（Negative Binomial Distribution）是指在一系列独立同分布的伯努利试验中，试验次数服从几何分布（Geometric Distribution）的随机变量。具体地，负二项分布描述的是在一系列伯努利试验中，成功次数达到指定的阈值时所需要的试验次数。

负二项分布的概率质量函数（PMF）可以表示为：

P(X=k) = \binom{k+r-1}{ k } p^r (1-p)^k

其中，r为成功的次数阈值，p为每次试验成功的概率。

负二项分布的累积分布函数（CDF）可以通过其概率质量函数得到：

F(x) = P(X \leq x) = \sum_{k=0}^{x} \binom{k+r-1}{ k } p^r (1-p)^k

2. Python代码实现

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.special import comb

def neg_binomial_cdf(x, r, p):
    cdf = 0
    for k in range(x+1):
        cdf += comb(k+r-1, k) * p**r * (1-p)**k
    return cdf

r = 5
p = 0.5
x = np.arange(0, 21)
cdf_values = [neg_binomial_cdf(val, r, p) for val in x]

plt.plot(x, cdf_values, marker='o')
plt.title('Negative Binomial Distribution CDF')
plt.xlabel('k')
plt.ylabel('F(x)')
plt.grid()
plt.show()

3. 运行结果

运行以上代码，可以得到绘制出的负二项分布累积分布函数的图像。在该图中，横轴表示成功次数k，纵轴表示累积概率F(x)。根据设置的参数r=5和p=0.5，可以看到随着成功次数的增加，累积概率也随之增加，且曲线呈现递增趋势。

负二项分布累积分布函数的图像能够直观地展示在一系列伯努利试验中达到成功次数阈值所需的试验次数分布情况，有助于理解和分析负二项分布的性质和特点。