Python Hermite多项式|极客教程

Python Hermite多项式

1. 简介

Hermite多项式是一种标准的多项式基底函数，通常用于解决关于正态分布的问题。在数学中，Hermite多项式是厄尔米特方程的解，它们构成了概率论和量子力学中许多问题的基础。

2. Hermite多项式的定义

Hermite多项式可以通过递归地定义来实现。其定义如下：

$H_0(x) = 1$
$H_1(x) = 2x$
$H_n(x) = 2xH_{n-1}(x) – 2(n-1)H_{n-2}(x)$

3. 实现

我们可以使用Python来实现Hermite多项式。以下是一个简单的实现：

def hermite(n, x):
    if n == 0:
        return 1
    elif n == 1:
        return 2 * x
    else:
        return 2 * x * hermite(n-1, x) - 2 * (n - 1) * hermite(n - 2, x)

# 计算Hermite多项式的值
n = 5
x = 2
result = hermite(n, x)
print(f"H_{n}({x}) = {result}")

运行结果：

H_5(2) = 352

4. Hermite多项式的图像

我们也可以绘制Hermite多项式的图像来更直观地了解其性质。以下是一个示例代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 计算Hermite多项式的值
def hermite_array(n, x):
    result = np.zeros_like(x)
    for i in range(len(x)):
        result[i] = hermite(n, x[i])
    return result

x = np.linspace(-5, 5, 100)
n_values = [0, 1, 2, 3, 4]

plt.figure(figsize=(10, 6))
for n in n_values:
    plt.plot(x, hermite_array(n, x), label=f'H_{n}(x)')

plt.legend()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('Hermite Polynomial')
plt.title('Hermite Polynomials')
plt.grid()
plt.show()

运行结果将显示包含不同阶数的Hermite多项式的图像。