Numpy Python & Scipy：如何拟合von Mises分布

在本文中，我们将介绍如何使用Numpy、Python和Scipy对数据拟合一个von Mises分布。von Mises分布是一个圆上连续概率分布，它通常用于描述循环变量，例如方向。它的概率密度函数（PDF）可表示为：

$$f(x | \mu, \kappa) = \frac{e^{\kappa \cos(x – \mu)}}{2 \pi I_0(\kappa)}$$

其中，$\mu$是分布的平均方向，$\kappa$是分布的聚集度，$I_0$是第一类修正贝塞尔函数。我们的目标是拟合一个von Mises分布到我们的数据上，以获得分布的$\mu$和$\kappa$参数。

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生成模拟数据

首先，我们将创建一些模拟数据，使用Numpy的vonmises函数。我们设置$\mu=0$和$\kappa=4$，生成1000个样本。

import numpy as np

np.random.seed(42)

mu = 0
kappa = 4

data = np.random.vonmises(mu, kappa, size=1000)

现在我们有了一个数据集，它的值是从von Mises分布中随机抽取的。

绘制直方图

接下来，我们可以绘制数据的直方图，以查看它的形状。我们使用Matplotlib绘图工具包：

import matplotlib.pyplot as plt

n_bins = 50
plt.hist(data, bins=n_bins)
plt.show()

我们可以看到，数据呈现出一个钟形曲线，类似于正态分布，但是在圆上。这是一个典型的von Mises分布的形状。

定义拟合函数

接下来，我们定义一个函数，该函数将拟合von Mises分布到我们的数据上，并返回拟合分布的$\mu$和$\kappa$参数。我们使用Scipy的最小二乘拟合函数，在拟合函数中定义von Mises分布的PDF。

from scipy.optimize import curve_fit
from scipy.special import i0

def von_mises_fit(data):
    def von_mises_pdf(x, mu, kappa):
        return np.exp(kappa * np.cos(x - mu)) / (2 * np.pi * i0(kappa))

    hist, bin_edges = np.histogram(data, 50, density=True)
    bin_centers = (bin_edges[:-1] + bin_edges[1:]) / 2

    popt, _ = curve_fit(von_mises_pdf, bin_centers, hist, p0=[0, 1])

    return popt[0], popt[1]

在拟合函数von_mises_fit中，我们首先使用Numpy计算数据的直方图和直方图bins。然后，我们定义von Mises分布的PDF函数von_mises_pdf。最后，我们使用Scipy的曲线拟合函数curve_fit，在拟合函数中使用数据的直方图和PDF函数来拟合参数$\mu$和$\kappa$。

对数据进行拟合

现在我们已经定义了我们的拟合函数，我们可以将它应用到我们的模拟数据上：

mu_fit, kappa_fit = von_mises_fit(data)

print("mu_fit =", mu_fit)
print("kappa_fit =", kappa_fit)

在这里，我们将拟合的$\mu$和$\kappa$参数打印出来。我们可以看到，拟合的参数与生成数据时的参数$\mu=0$和$\kappa=4$相当接近。

绘制拟合曲线

我们可以将拟合分布绘制到原始数据的直方图上，以便查看其拟合质量。

plt.hist(data, bins=n_bins, density=True)

x = np.linspace(-np.pi, np.pi, 1000)
pdf = np.exp(kappa_fit * np.cos(x - mu_fit)) / (2 * np.pi * i0(kappa_fit))
plt.plot(x, pdf, 'r')
plt.show()

在这里，我们使用拟合的$\mu$和$\kappa$参数计算von Mises分布的PDF，并将PDF绘制为红色曲线。我们可以看到，红色曲线几乎完全覆盖了原始数据的直方图，这表明我们的拟合曲线与数据非常吻合。

总结

在本文中，我们介绍了如何使用Numpy、Python和Scipy拟合一个von Mises分布到数据上。我们首先生成了一个von Mises分布的模拟数据集，然后定义了一个拟合函数，并使用Scipy的最小二乘拟合函数拟合函数来拟合数据拟合分布的$\mu$和$\kappa$参数。最后，我们使用Matplotlib工具包将拟合分布绘制到原始数据的直方图上，以便查看其拟合质量。