使用Numpy自相关函数估计周期性

在本文中，我们将介绍如何使用Numpy的自相关函数来估计信号的周期性。自相关是一种统计工具，可以帮助我们找到信号中任意两个时间点之间的相关性。在周期性信号中，我们可以利用自相关函数来找到信号内部的周期性信号。

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自相关函数简介

自相关函数的定义如下：

$\mathrm{R}_{xx} \left( \tau \right) = \int_{-\infty}^{\infty}x(t)x(t-\tau)dt$

其中 $\tau$ 表示时间滞后量， $x(t)$ 代表信号在时间 $t$ 的取值。在离散时间下，我们可以将自相关函数表示为：

$\mathrm{R}_{xx} \left( n \right) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}x(k)x(k-n)$

其中 $n$ 表示时间延迟量， $x(k)$ 代表信号在时间 $k$ 的离散取值。自相关函数在信号处理和时间序列分析中非常有用，它可以帮助我们找到信号中的周期性成分。

使用Numpy的自相关函数

Numpy提供了一个方便的自相关函数numpy.correlate()，它可以计算两个向量的离散的自相关函数。当我们使用numpy.correlate时，我们需要指定计算的两个向量和计算类型，使用mode='same'可以确保计算得到的向量长度与原始向量相同。

下面我们来看一个示例，我们将生成一个使用正弦函数表示的周期性信号，然后使用numpy.correlate()计算自相关函数。代码如下：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 生成周期性信号
t = np.linspace(0, 1, 1000)
f1 = 2
f2 = 5
x = np.sin(2*np.pi*f1*t) + np.sin(2*np.pi*f2*t)

# 计算自相关函数
corr = np.correlate(x, x, mode='same')

# 绘制信号和自相关函数
fig, (ax0, ax1) = plt.subplots(nrows=2, sharex=True)
ax0.plot(t, x)
ax1.plot(t, corr)
ax1.set_ylim([-5e3, 5e3])
ax0.set_title('Signal')
ax1.set_title('Autocorrelation')
plt.show()

可以看到，自相关函数在时间滞后等于信号的周期时达到最大值。也就是说，如果我们计算自相关函数并找到最大值，就可以估计信号的周期。

使用自相关函数估计信号周期

如果我们有一个具有周期性的信号，我们可以使用自相关函数来估计其周期。因为信号的周期是一个重复出现的模式，当我们计算自相关函数时，周期信号与其本身的相关性应该是最大的。

我们可以在自相关函数中找到最大值，并计算该位置对应的延迟量，该值就是信号的周期。下面是一个示例代码，它演示了如何使用自相关函数来估计周期。在此示例中，我们将使用一个简单的方波信号作为输入。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 生成方波信号
t = np.linspace(0, 1, 400, endpoint=False)
x = np.sign(np.sin(2 * np.pi * t))
x *= np.sign(np.diff(x))

# 计算自相关函数
corr = np.correlate(x, x, mode='same')
lags = np.arange(-len(x)+1, len(x))

# 找到自相关函数的第一个峰值
idx = np.argmax(corr)
lag = lags[idx]
period = lag/2

# 绘制信号和自相关函数
fig, (ax0, ax1) = plt.subplots(nrows=2, sharex=True)
ax0.plot(t, x)
ax0.set_ylim([-1.5, 1.5])
ax0.set_title('Signal')
ax1.plot(lags, corr)
ax1.plot(lag, corr[idx], 'ro')
ax1.axvline(x=period, color='r')
ax1.set_title('Autocorrelation')
plt.show()

print("Estimated period:", period)