Numpy & Scipy 在 Python 中拟合数据到 ODE 系统

在本文中，我们将介绍如何使用 Scipy 和 Numpy，在 Python 环境下对给定数据进行 ODE 模型拟合。这里，我们将采用的是 Scipy 中的 ODE 求解器，并利用 Numpy 作为数组和线性代数工具库。我们的任务是确定一组参数，将一个封闭化学反应的动力学模型与实验数据拟合。

阅读更多：Numpy 教程

1. 设置问题

我们关注的化学反应是甲酸和氧气在有机溶剂隐身的钯催化下反应生成二氧化碳和水。应用动力学催化模型，我们能够预测发作速度和控制化学反应。常用的模型是三步反应方案，可表述为

ParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \ce at position 17: …begin{aligned} \̲c̲e̲{O2 + Pd^{0} &<…

其中 $Pd^0$ 是钯粒子，$Pd^I$ 和 $Pd^{II}$ 是钯粒子的中心和不同电子结构形态，$k_i$ 是速率常数，方括号内表示反应物或产物的浓度。

2. 建立模型

要解决这样的反应模型，需要合适的数学公式，以便反应物和产物浓度的随时间演变能够被描述。可以通过 $\frac{d}{dt}$ 表示的微分方程来计算可观测数据的模型方案，本例涉及的是三个反应物和三个产物浓度数据，需要解决的是一个三个 ODE 的系统方程。

ParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \ce at position 34: …rac{\mathrm{d}[\̲c̲e̲{O2}]}{\mathrm{…

3. 代码实现

使用 Python 编写脚本，我们可以建立 ODE 模型：

import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
import matplotlib.pyplot as plt

# 常数
k3 = 10    # HCOOH 的钯催化联合
k4 = 1.    # 脱氧的钯
k5 = 100   # 氧化的钯联合
k5r = 1e-6  # 氧还原
KM = 1     # HCOOH常数

# 初始浓度
O2_0 = 0.3
HCOOH_0 = 0.1
Pd0_0 = 0.006
PdI_0 = 0.
PdII_0 = 0.

y0 = [O2_0, HCOOH_0, Pd0_0, PdI_0, PdII_0]

# 定义 d(y)/dt 函数
def dydt(y, t):
    O2, HCOOH, Pd0, PdI, PdII = y

    # 解决式
    dO2dt = k5r * PdI * O2 - k5 * Pd0 * O2 - k3 * PdI * HCOOH + k4 * PdII
    dHCOOHdt = -k3 * PdI * HCOOH + k4 * PdII - k5r * PdI * O2 * HCOOH / (KM + HCOOH)
    dCO2dt = k3 * PdI * HCOOH - k4 * PdII
    dH2Odt = k3 * PdI * HCOOH - k4 * PdII

    # 返回方程组
    return [dO2dt, dHCOOHdt, 0., dPdIdt, dPdIIdt]

# 测量点
t = np.linspace(0, 10, 500)

# 求解ODE
sol = odeint(dydt, y0, t)

# 绘图
fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(t, sol[:, 0], 'b', label='O2') # O2
ax.plot(t, sol[:, 1], 'r', label='HCOOH') # HCOOH
ax.plot(t, sol[:, 2], 'g', label='Pd0') # Pd0
ax.plot(t, sol[:, 3], 'm', label='PdI') # PdI
ax.plot(t, sol[:, 4], 'c', label='PdII') # PdII
plt.legend(loc='best')
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('Concentration')
plt.show()

在上面的 Python 代码段中，我们导入必要的库，然后在头部定义我们的常数和初始浓度。我们还定义了 dydt 函数和测量点 $t$，用于实现 ODE 系统方程求解。ODE 运算使用 Scipy 的 odeint 函数进行。确定了最佳拟合参数之后，我们可以输出所需的值。我们使用 matplotlib 得到了浓度与时间之间的数据可视化图表。

总结

在本文中，我们使用 Scipy 和 Numpy 在 Python 环境中计算了给定化学反应的动力学数据。详细介绍了如何利用 ODE 求解器和最优化方法在给定数据集上拟合 ODE 模型。此外，我们还讨论了创建 ODE 方程、解决和解释 ODE 的反应系统所需的数学技巧。通过代码实现，我们展示了如何使用 Python 模拟 ODE 模型，可见 Python 加上 Scipy、Numpy 库，实现 ODE 模型并进行仿真分析是一种简单且有效的方法，可广泛应用于许多应用领域。