方差

方差（英语：Variance），应用数学里的专有名词。在概率论和统计学中，一个随机变量的方差描述的是它的离散程度，也就是该变量离其期望值的距离。一个实随机变量的方差也称为它的二阶矩或二阶中心动差，恰巧也是它的二阶累积量。这里把复杂说白了，就是将各个误差将之平方（而非取绝对值，使之肯定为正数），相加之后再除以总数，透过这样的方式来算出各个数据分布、零散（相对中心点）的程度。继续延伸的话，方差的正平方根称为该随机变量的标准差（此为相对各个数据点间）。

方差定义

设X为服从分布F的随机变量， 如果E[X]是随机变数X的期望值（平均数μ=E[X]）
随机变量X或者分布F的方差为：

$$\operatorname{Var}(X) = \operatorname{E}\left[(X – \mu)^2 \right]$$
这个定义涵盖了连续、离散、或两者都有的随机变量。方差亦可当作是随机变量与自己本身的协方差：

$$\operatorname{Var}(X) = \operatorname{Cov}(X, X)$$
方差典型的标记有Var(X),$$\scriptstyle\sigma_X^2$$,　或是$$\sigma^{2}$$，其表示式可展开成为：

$$\operatorname{Var}(X)= \operatorname{E}\left[X^2 – 2X\operatorname{E}[X] + (\operatorname{E}[X])^2\right] = \operatorname{E}\left[X^2\right] – 2\operatorname{E}[X]\operatorname{E}[X] + (\operatorname{E}[X])^2 = \operatorname{E}\left[X^2 \right] – (\operatorname{E}[X])^2$$
上述的表示式可记为”平方的期望减掉期望的平方”。

离散随机变量

如果随机变量X是具有概率质量函数的离散概率分布$$x_1 ↦ p_1, …, x_n ↦ p_n$$，则：

$$\operatorname{Var}(X) = \sum_{i=1}^n p_i\cdot(x_i – \mu)^2 = \sum_{i=1}^n (p_i\cdot x_i^2) – \mu^2$$
此处$$\mu$$ 是其期望值, i.e.

$$mu = \sum_{i=1}^n p_i\cdot x_i$$.
当X为有N个相等概率值的平均分布：
$$\operatorname{Var}(X) = \sigma^{2} =\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i – \mu)^2 = \frac{1}{N} \left(\sum_{i=1}^N x_i^2 – N\mu^2 \right)$$

N个相等概率值的方差亦可以点对点间的方变量表示为：

$${Var}(X) = \frac{1}{N^2} \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N \frac{1}{2}(x_i – x_j)^2$$

连续型随机变量

如果随机变量X是连续分布，并对应至概率密度函数f(x)，则其方差为：
$${Var}(X) =\sigma^2 =\int (x-\mu)^2 f(x) dx\, =\int x^2 f(x) dx- \mu^2$$
此处$$\mu$$ 是一期望值，

$$\mu = \int x f(x) dx$$,
且此处的积分为以X为范围的x定积分（definite integral）
如果一个连续分布不存在期望值，如柯西分布（Cauchy distribution），也就不会有方差（不予定义）。

方差特性

方差不会是负的，因为次方计算为正的或为零：

$$\operatorname{Var}(X)\ge 0$$
一个常数随机变量的方差为零，且当一个资料集的方差为零时，其内所有项目皆为相同数值：

$$P(X=a) = 1\Leftrightarrow \operatorname{Var}(X)= 0$$
方差不变于定位参数的变动。也就是说，如果一个常数被加至一个数列中的所有变量值，此数列的方差不会改变：

$${\displaystyle \operatorname {Var} (X+a)=\operatorname {Var} (X).}$$
如果所有数值被放大一个常数倍，方差会放大此常数的平方倍：

$$\operatorname{Var}(aX)=a^2\operatorname{Var}(X)$$
两个随机变量合的方差为：

$$\operatorname{Var}(aX+bY)=a^2\operatorname{Var}(X)+b^2\operatorname{Var}(Y)+2ab\, \operatorname{Cov}(X,Y),$$

$$\operatorname{Var}(X-Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)-2\, \operatorname{Cov}(X,Y)$$,
此数Cov(., .)代表协方差。

对于N个随机变量$${X_1,\dots,X_N}$$的总和：

$$\operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^N X_i\right)=\sum_{i,j=1}^N\operatorname{Cov}(X_i,X_j)=\sum_{i=1}^N\operatorname{Var}(X_i)+\sum_{i\ne j}\operatorname{Cov}(X_i,X_j)$$
在样本空间Ω上存在有限期望和方差的随机变量构成一个希尔伯特空间： $$L^2（Ω, dP）$$，不过这里的内积和长度跟协方差，标准差还是不大一样。 所以，我们得把这个空间“除”常变量构成的子空间，也就是说把相差一个常数的 所有原来那个空间的随机变量做成一个等价类。这还是一个新的无穷维线性空间， 并且有一个从旧空间内积诱导出来的新内积，而这个内积就是协方差。

一般化

如果X是一个向量其取值范围在实数空间Rn，并且其每个元素都是一个一维随机变量，我们就把X称为随机向量。随机向量的方差是一维随机变量方差的自然推广，其定义为E[(X − μ)(X − μ)T]，其中μ = E(X)，XT是X的转置。这个方差是一个非负定的方阵，通常称为协方差矩阵。

如果X是一个复数随机变量的向量（向量中每个元素均为复数的随机变量），那么其方差定义则为E[(X − μ)(X − μ)]，其中X是X的共轭转置向量或称为埃尔米特向量。根据这个定义，方差为实数。