协方差|极客教程

协方差（Covariance）在概率论和统计学中用于衡量两个变量的总体误差。而方差是协方差的一种特殊情况，即当两个变量是相同的情况。

期望值分别为 $E(X)=\mu$ 与 $E(Y)=\nu$ 的两个具有有限二阶矩的实数随机变量X 与Y 之间的协方差定义为：

$\operatorname {cov} (X,Y)=\operatorname {E} ((X-\mu )(Y-\nu ))=\operatorname {E} (X\cdot Y)-\mu \nu .$
协方差表示的是两个变量的总体的误差，这与只表示一个变量误差的方差不同。如果两个变量的变化趋势一致，也就是说如果其中一个大于自身的期望值，另外一个也大于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是正值。如果两个变量的变化趋势相反，即其中一个大于自身的期望值，另外一个却小于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是负值。

如果X 与Y 是统计独立的，那么二者之间的协方差就是0，这是因为

$E(X \cdot Y)=E(X) \cdot E(Y)=\mu\nu$ ,
但是反过来并不成立，即如果X 与Y 的协方差为0，二者并不一定是统计独立的。

取决于协方差的相关性η

$\eta ={\dfrac {\operatorname {cov} (X,Y)}{\sqrt {\operatorname {var} (X)\cdot \operatorname {var} (Y)}}}\ ,$
更准确地说是线性相关性，是一个衡量线性独立的无量纲数，其取值在[－1, 1]之间。相关性η = 1时称为“完全线性相关”（相关性η = －1时称为“完全线性负相关”），此时将Yi对Xi作Y-X 散点图，将得到一组精确排列在直线上的点；相关性数值介于－1到1之间时，其绝对值越接近1表明线性相关性越好，作散点图得到的点的排布越接近一条直线。

相关性为0（因而协方差也为0）的两个随机变量又被称为是不相关的，或者更准确地说叫作“线性无关”、“线性不相关”，这仅仅表明X 与Y 两随机变量之间没有线性相关性，并非表示它们之间一定没有任何内在的（非线性）函数关系，和前面所说的“X、Y二者并不一定是统计独立的”说法一致。

属性

如果X 与Y 是实数随机变量，a 与b 是常数，那么根据协方差的定义可以得到：

$\operatorname{cov}(X, X) = \operatorname{var}(X)$ ，
$\operatorname{cov}(X, Y) = \operatorname{cov}(Y, X)$ ，
$\operatorname{cov}(aX, bY) = ab \operatorname{cov}(X, Y)$ ，
对于随机变量序列 $X_1, \dots, X_n$ 与 $Y_1, \dots, Y_m$ ，有

$\operatorname{cov}\left(\sum_{i=1}^n {X_i}, \sum_{j=1}^m{Y_j}\right) = \sum_{i=1}^n{\sum_{j=1}^m{\operatorname{cov}\left(X_i, Y_j\right)}}$ ，
对于随机变量序列 $X_1, \dots, X_n$ ，有

${var}\left(\sum_{i=1}^n X_i \right) = \sum_{i=1}^n{var}(X_i) + 2 \sum_{i,j }{cov}(X_i,X_j)$ ,其中i<j。